Методы измерения электрофизических параметров монокристаллического кремния (обзор). Расчет энергетических параметров полупроводника Измерения температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

Введение

Физические процессы в полупроводниках и их свойства

1 Собственные полупроводники

2 Электронный полупроводник

3 Дырочный полупроводник

4 Энергетические диаграммы полупроводников

5 Основные и неосновные носители заряда

6 Температурная зависимость концентрации носителей заряда

7 Донорные и акцепторные полупроводники

8 Зависимость концентрации электронов от энергии уровня Ферми

9 Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных полупроводниках

Вычисление температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

1 Приближённый расчёт зависимости концентрации дырок от температуры

1.1 Вычисление средней температуры

1.2 Вычисление эффективной массы электрона и дырки

1.3 Вычисление эффективной плотности состояний в валентной зоне и зоне проводимости

1.4 Расчёт температуры и

1.5 Область низких температур

1.6 Область средних температур

1.7 Область высоких температур

2 Аналитический расчёт зависимости концентрации свободных носителей заряда и положения уровня Ферми от температуры

2.1 Нахождение точных значений и

2.2 Область низких температур (точные значения)

2.3 Область средних температур (точные значения)

2.4 Область высоких температур (точные значения)

Заключение

Список используемых источников

Приложение А Программа расчёта

Приложение В Графики зависимостей

Реферат

Пояснительная записка содержит 54 страниц машинописного текста, включает 2 приложения, 14 рисунков, список использованных источников из 10 наименований.

Ключевые слова: собственный полупроводник, полупроводник акцепторного типа, эффективная масса, соотношение действующих масс, эффективная плотность состояний, уровень Ферми, ширина запрещённой зоны, носители заряда, концентрация носителей заряда, акцепторная примесь, энергия ионизации примеси, область истощения примеси, область собственной электропроводности, область собственной проводимости, область слабой ионизации, концентрация дырок, точные значения.

Цель работы: рассчитать температурную зависимость концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике акцепторного типа, а так же построить график этой зависимости в координатах: ln n = F(1/T). Определить и построить графически зависимость энергии уровня Ферми от температуры, и произвести расчет температур перехода к собственной проводимости и истощения примеси.

Задачи: использовать данную курсовую работу как основу фундамента знаний о физике полупроводников, а так же развить свой технический кругозор для улучшения своей профессиональной пригодности.

Актуальность: тщательное изучение этой и подобных работ позволит акцентировать своё внимание на перспективу карьерного роста в данной области знаний, ведь физика полупроводников всегда являлась одной из основ технических наук. Данное направление развивается с середины прошлого века по сей день и всегда останется актуальным в области развития страны как высокотехнологической сверхдержавы.

Введение

Полупроводниковыми называют материалы, являющиеся по удельной проводимости промежуточными между проводниковыми и диэлектрическими материалами и отличительным свойством которых является сильная зависимость удельной проводимости от концентрации и вида примесей или различных дефектов, а также в большинстве случаев от внешних энергетических воздействий (температуры, освещенности и т.п.).

Электропроводность полупроводников обусловлена движением электронов и дырок. При введении примесей в полупроводник изменяется положение уровня Ферми и концентрация носителей заряда обоих знаков. В зависимости от валентности примесные атомы проявляют свойства доноров (отдают электроны) или акцепторов (принимают электроны). Равновесные концентрации электронов и дырок связаны между собой соотношением «действующих масс». При достаточно высоких температурах в полупроводнике доминирует собственная электропроводность, когда n i = p i .

К полупроводникам относится большое количество веществ с электронной электропроводностью, удельное сопротивление которых при нормальной температуре находится между значениями удельного сопротивления проводников и диэлектриков. Основной особенностью полупроводников является их способность изменять свои свойства под влиянием различных внешних воздействий (изменение температуры и освещения, приложение электрического и магнитного полей, внешнего давления и т.д.). В отличие от металлов полупроводники имеют в широком интервале температур отрицательный температурный коэффициент удельного сопротивления. Тип электропроводности (электронная или дырочная) зависит от рода примесей, содержащихся в полупроводнике. Так, например, добавляя к германию или кремнию мышьяк, сурьму или любой другой элемент V группы, мы создаем электронную проводимость. Напротив, добавление галлия, бора или любого иного элемента III группы сообщает германию и кремнию дырочную зависимость. Избыток кислорода в закиси меди Cu 2 O вызывает дырочную проводимость, а избыток меди - электронную, и т.д. Примеси, сообщающие данному проводнику электронную проводимость, называют донорами, а примеси, вызывающие дырочную проводимость, - акцепторами. Отметим, что один и тот же химический элемент может быть в одних полупроводниках донором, а в других - акцептором.

Таким образом, электропроводность в полупроводниках может осуществляться не только движением отрицательных электронов, но и движением положительных частиц - дырок. В зависимости от количества и рода примесей, а также от температуры соотношение между концентрациями электронов и дырок может быть весьма различным. Частицы, представленные в большинстве, называют основными носителями заряда (электроны в полупроводнике p-типа, дырки в полупроводнике n-типа).

Высокая «чувствительность» полупроводников к примесям, требование высокой степени чистоты и структурного совершенства кристаллов явились одной из главных причин того, что длительное время (более 100 лет) потенциальные возможности полупроводников не использовались. Лишь значительный прогресс в технологии получения сверхчистых веществ и выращивания монокристаллов позволил устранить принципиальные барьеры на пути целенаправленного изучения специфических свойств полупроводников и их широкого практического применения. Особенно бурное развитие переживает полупроводниковая электроника в последние три десятилетия.

1. Физические процессы в полупроводниках и их свойства

1.1 Собственные полупроводники

Собственный - это такой полупроводник, в котором можно пренебречь влиянием примесей при данной температуре. Согласно зонной теории твердого тела для полупроводников характерно наличие не очень широкой запрещенной зоны на энергетической диаграмме. В собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля валентная зона полностью заполнена электронами, а зона проводимости абсолютно свободна. Из-за блокирующего действия запрещенной зоны собственный полупроводник при 0 К не обладает электропроводностью, т. е. ведет себя подобно идеальному диэлектрику. При температурах, отличных от нуля, имеется конечная вероятность того, что некоторые из электронов за счет тепловых флуктуаций (неравномерного распределения тепловой энергии между частицами) преодолеют потенциальный барьер и окажутся в зоне проводимости. В собственном полупроводнике каждый переход электрона в зону проводимости сопровождается образованием дырки в валентной зоне. Благодаря дыркам электроны валентной зоны также принимают участие в процессе электропроводности за счет эстафетных переходов под действием электрического поля на более высокие освободившиеся энергетические уровни. Совокупное поведение электронов валентной зоны можно представить как движение дырок, обладающих положительным зарядом и некоторой эффективной массой. Чем выше температура и меньше ширина за прещенной зоны, тем выше скорость тепловой генерации носителей заряда (электронов и дырок). Специфика собственного полупроводника состоит в том, что в нем равновесная концентрация электронов равна равновесной концентрации дырок :

Индекс i происходит от англ. intrinsic - собственный. Как отмечалось, распределение электронов по энергиям в твердом теле в общем случае подчиняется статистике Ферми-Дирака. При этом вероятность нахождения электрона на уровне с энергией Е определяется функцией . Любой энергетический уровень может либо быть занят электроном, либо оставаться свободным (занят дыркой). Сумма вероятностей этих двух событий должна быть равна единице:

(1.1.2)

Тогда вероятность заполнения энергетического уровня дыркой:

(1.1.3)

где - уровень Ферми.

Из (1.1.3) следует, что функция вероятности для дырок совершенно аналогична функции вероятности для электронов. Различие состоит лишь в том, что для дырок энергия возрастает при движении вниз от уровня Ферми, т. е. чем «глубже» находится дырка, тем больше ее энергия.

Обычно в полупроводниках электроны и дырки имеют энергию, значительно отличающуюся от энергии Ферми. Разность -. как правило, более чем в три раза превышает значение kT. Поэтому в знаменателе формулы (1.1.3) единицей можно пренебречь:

; (1.1.4)

Сделанное допущение означает переход от квантового распределения Ферми - Дирака к классической статистике Максвелла-Больцмана. Вероятность заполнения энергетических уровней электронами и дырками в собственном полупроводнике показана на рисунке 1.1.1

Рисунок 1.1.1 - Энергетическая диаграмма и функция вероятности заполнения энергетических уровней для собственного полупроводника

Для определения концентрации электронов в полупроводнике надо проинтегрировать по энергии произведение функции распределения плотности энергетических уровней в зоне проводимости Пасынков (1.3)] и вероятности заполнения этих уровней электронами. Интегрирование нужно проводить от нижнего (Е с) до самого верхнего уровня зоны проводимости, т.е.

(1.1.5)

где - эффективная плотность состояний в зоне проводимости, энергия которых приведена ко дну зоны проводимости.

Аналогичным образом для равновесной концентрации дырок в любом невырожденном полупроводнике получим:

(1.1.6)

где - эффективная плотность состояний в валентной зоне, энергия которых приведена к потолку валентной зоны (E v).

С учетом (1.1.1) для собственного полупроводника имеем:

Отсюда путем логарифмирования легко найти положение уровня Ферми:

(1.1.8)

Учитывая близость значений N V и N c , приходим к выводу о том, что в собственном полупроводнике уровень Ферми расположен приблизительно посередине запрещенной зоны (см. рисунок 1.1.1):

Где ширина запрещённой зоны.

Для графического изображения температурной зависимости выражение (1.1.9) удобно представить в виде:

(1.1.11)

Произведение N C N V является слабой функцией от температуры; поэтому зависимость логарифма концентрации носителей заряда от обратной температуры близка к линейной, причем наклон прямой характеризует ширину запрещенной зоны полупроводника. Для примера на рисунке 1.1.2 показано температурное изменение собственной концентрации носителей заряда в кремнии и германии.

Рисунок 1.1.2 - Температурная зависимость собственной концентрации носителей заряда в кремнии и германии

Механизм собственной электропроводности ковалентных полупроводников поясняет рисунок 1.1.3

Рисунок 1.1.3 - Схематическое представление собственной электропроводности полупроводника

Кремний и германий, являясь элементами IV группы системы Менделеева, кристаллизуются в структуре алмаза. В этой структуре каждый атом находится в тетраэдрическом окружении четырех ближайших соседей, с которыми взаимодействует силами ковалентных связей. Четыре валентных электрона любого атома идут на образование четырех ковалентных связей. Все химические связи оказываются замкнутыми и полностью насыщенными. Состояниям связанных электронов соответствуют энергетические уровни в валентной зоне. Фактически плоская сетка на рисунке 1.1.3 является проекцией кристаллической решетки на плоскость (100).

Валентные электроны, осуществляющие химические связи, не могут оторваться от своих атомов без значительных затрат энергии. Энергетические затраты на разрыв связи и освобождение электрона количественно выражают шириной запрещенной зоны. Атомы, потерявшие электроны, превращаются в положительно заряженные ионы, а незаполненная валентная связь содержит энергетическую вакансию для электронов, т. е. проявляет себя как дырка. Положительно заряженный ион может заимствовать электрон от любого соседнего атома, что приведет к перемещению дырки по кристаллу. Образовавшиеся электроны и дырки проводимости беспорядочно блуждают по решетке до тех пор, пока не рекомбинируют при встрече.

Под действием внешнего электрического поля движение носителей заряда приобретает направленный характер. При этом перемещение дырки к отрицательному полюсу источника можно представить как эстафетный переход валентных электронов от одного атома к другому в направлении против поля.

Рассмотренный случай собственной электропроводности представляет теоретический интерес, поскольку позволяет оценить потенциальные возможности материала. Работа большинства полупроводниковых приборов нарушается при появлении собственной электропроводности.

1.2 Электронный полупроводник

Электронным полупроводником или полупроводником типа n (от латинского negative - отрицательный) называется полупроводник, в кристаллической решетке которого (рис 1.3)помимо основных (четырехвалентных) атомов содержатся примесные пятивалентные атомы, называемые донорами. В такой кристаллической решетке четыре валентных электрона примесного атома заняты в ковалентных связях, а пятый (“лишний”) электрон не может вступить в нормальную ковалентную связь и легко отделяется от примесного атома, становясь свободным носителем заряда. При этом примесный атом превращается в положительный ион. При комнатной температуре практически все примесные атомы оказываются ионизированными. Наряду с ионизацией примесных атомов в электронном полупроводнике происходит тепловая генерация, в результате которой образуются свободные электроны и дырки, однако концентрация возникающих в результате генерации электронов и дырок значительно меньше концентрации свободных электронов, образующихся при ионизации примесных атомов, т.к. энергия, необходимая для разрыва ковалентных связей, существенно больше энергии, затрачиваемой на ионизацию примесных атомов. Концентрация электронов в электронном полупроводнике обозначается n n , а концентрация дырок - p n . Электроны в этом случае являются основными носителями заряда, а дырки - неосновными.

3 Дырочный полупроводник

Дырочным полупроводником или полупроводником типа p (от латинского positive - положительный) называется полупроводник, в кристаллической решетке которого содержатся примесные трехвалентные атомы, называемые акцепторами. В такой кристаллической решетке одна из ковалентных связей остается незаполненной. Свободную связь примесного атома может заполнить электрон, покинувший одну из соседних связей. При этом примесный атом превращается в отрицательный ион, а на том месте, откуда ушел электрон, возникает дырка.В дырочном полупроводнике, также как и в электронном, происходит тепловая генерация носителей заряда, но их концентрация во много раз меньше концентрации дырок, образующихся в результате ионизации акцепторов. Концентрация дырок в дырочном полупроводнике обозначается p p , они являются основными носителями заряда, а концентрация электронов обозначается n p , они являются неосновными носителями заряда.

4 Энергетические диаграммы полупроводников

Согласно представлениям квантовой физики электроны в атоме могут принимать строго определенные значения энергии или, как говорят, занимать определенные энергетические уровни. При этом, согласно принципу Паули, в одном и том же энергетическом состоянии не могут находиться одновременно два электрона. Твердое тело, каковым является полупроводниковый кристалл, состоит из множества атомов, сильно взаимодействующих друг с другом, благодаря малым межатомным расстояниям. Поэтому вместо совокупности разрешенных дискретных энергетических уровней, свойственных отдельному атому, твердое тело характеризуется совокупностью разрешенных энергетических зон, состоящих из большого числа близко расположенных энергетических уровней. Разрешенные энергетические зоны разделены интервалами энергий, которыми электроны не могут обладать и которые называются запрещенными зонами. При температуре абсолютного нуля электроны заполняют несколько нижних энергетических зон. Верхняя из заполненных электронами разрешенных зон называется валентной зоной, а следующая за ней незаполненная зона называется зоной проводимости. У полупроводников валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной. При нагреве вещества электронам сообщается дополнительная энергия, и они переходят с энергетических уровней валентной зоны на более высокие энергетические уровни зоны проводимости. В проводниках для совершения таких переходов требуется незначительная энергия, поэтому проводники характеризуются высокой концентрацией свободных электронов (порядка 10 22 см -3). В полупроводниках для того, чтобы электроны смогли перейти из валентной зоны в зону проводимости, им должна быть сообщена энергия не менее ширины запрещенной зоны. Это и есть та энергия, которая необходима для разрыва ковалентных связей.На рис. 1.4.1 представлены энергетические диаграммы собственного электронного и дырочного полупроводников, на которых через E C обозначена нижняя граница зоны проводимости, а через E V - верхняя граница валентной зоны. Ширина запрещенной зоны E з = E c - E v . В кремнии она равна 1,1 эВ, в германии - 0,7 эВ.

Рисунок 1.4.1 Энергетические диаграммы собственного электронного и дырочного полупроводников

С точки зрения зонной теории под генерацией свободных носителей заряда следует понимать переход электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис. 1.4.1,а). В результате таких переходов в валентной зоне появляются свободные энергетические уровни, отсутствие электронов на которых следует трактовать как наличие на них фиктивных зарядов - дырок. Переход электронов из зоны проводимости в валентную зону следует трактовать как рекомбинацию подвижных носителей заряда. Чем шире запрещенная зона, тем меньше электронов способно преодолеть ее. Этим объясняется более высокая концентрация электронов и дырок в германии по сравнению с кремнием.

В электронном полупроводнике (рис.1.4.1,б) за счет наличия пятивалентных примесей в пределах запрещенной зоны вблизи дна зоны проводимости появляются разрешенные уровни энергии E D . Поскольку один пpимесный атом приходится примерно на 10 6 атомов основного вещества, то пpимесные атомы практически не взаимодействуют друг с другом. Поэтому пpимесные уровни не образуют энергетическую зону и их изображают как один локальный энергетический уровень Е D , на котором находятся "лишние" электроны пpимесных атомов, не занятые в ковалентных связях. энергетический интервал E и = E c -E D называется энергией ионизации. Величина этой энергии для различных пятивалентных примесей лежит в пределах от 0,01 до 0,05 эВ, поэтому "лишние" электроны легко переходят в зону проводимости.

В дырочном полупроводнике введение трехвалентных примесей ведет к появлению разрешенных уровней Е A (pис.1.4.1,в), которые заполняются электронами, переходящими на него из валентной зоны, в результате чего образуются дырки, переход электронов из валентной зоны в зону проводимости требует больших затрат энергии, чем переход на уровни акцепторов, поэтому концентрация электронов n p оказывается меньше концентрации n i , а концентрацию дыpок p p можно считать примерно равной концентрации акцепторов N A.

5 Основные и неосновные носители заряда

Носители заряда, концентрация которых в данном полупроводнике больше, называют основными, а носители, концентрация которых меньше,- неосновными. Так, в полупроводнике л-типа электроны являются основными носителями, а дырки - неосновными; в полупроводнике р-типа дырки - основными носителями, а электроны - неосновными.

При изменении концентрации примесей в полупроводнике изменяется положение уровня Ферми и концентрация носителей заряда обоих знаков, т. е. электронов и дырок. Однако произведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупроводнике при заданной температуре в условиях термодинамического равновесия есть величина постоянная, не зависящая от содержания примесей. Действительно, из (1.1.3) и (1.1.6) имеем:

где - собственная концентрация носителей заряда при данной температуре.

Если, например, в полупроводнике n-типа увеличить концентрацию доноров, то возрастет число электронов, переходящих в единицу времени с примесных уровней в зону проводимости. Соответственно возрастет скорость рекомбинации носителей заряда и уменьшится равновесная концентрация дырок. Выражение

часто называют соотношением «действующих масс» для носителей заряда. С его помощью всегда можно найти концентрацию неосновных носителей заряда, если известна концентрация основных.

1.6 Температурная зависимость концентрации носителей заряда

Элементы статистики электронов. В широком диапазоне температур и для различного содержания примесей имеют место температурные зависимости концентрации носителей заряда в полупроводнике n-типа, изображенные на рисунке 1.6.1

Рисунок 1.6.1 - Типичные зависимости концентрации носителей заряда в полупроводнике от температуры при различных концентрациях донорной примеси:

Рассмотрим характер кривой, соответствующей относительно малой концентрации доноров N д1 . В области низких температур увеличение концентрации электронов при нагревании полупроводника обусловлено возрастанием степени ионизации доноров (участок кривой между точками 1 к 4). Каждый ионизованный донор можно рассматривать как центр, захвативший дырку. Учитывая, что общее число энергетических состояний на донорных уровнях в расчете на единицу объема равно N д1 , для концентрации ионизованных доноров запишем:

(1.6.1)

где Э д1 - положение донорного уровня на энергетической шкале.

При низкой температуре концентрация ионизованных доноров равна концентрации электронов:

Отсюда следует, что

и соответственно

где

Из выражения (1.6.4) следует, что наклон прямой на участке 1-4 рисунка 1.6.1 характеризует энергию ионизации примесей. В процессе дальнейшего нагревания при некоторой температуре, соответствующей точке 4, все электроны с примесных уровней оказываются переброшенными в зону проводимости. При этом вероятность ионизации собственных атомов полупроводника еще ничтожно мала. Поэтому в достаточно широком температурном диапазоне (участок 4-6) концентрация носителей заряда остается постоянной и практически равной концентрации доноров. Этот участок температурной зависимости принято называть областью истощения примесей.

При относительно высоких температурах (участок кривой за точкой 6) доминирующую роль начинают играть перебросы электронов через запрещенную зону, т. е. происходит переход в область собственной электропроводности, где концентрация электронов равна концентрации дырок, а крутизна кривой определяется запрещенной зоной полупроводника.

Для большинства примесных полупроводников температура перехода к собственной электропроводности существенно превышает комнатную. Так, для германия n-типа с концентрацией доноров температура приблизительно равна 450 К. Значение зависит от концентрации примеси и ширины запрещенной зоны полупроводника.

С увеличением концентрации примеси участки кривых, соответствующие примесной электропроводности, смещаются вверх. Причину этого смещения легко понять с помощью формулы (1.6.4). Кроме того, надо принять во внимание, что с увеличением концентрации примесных атомов уменьшается расстояние между ними. Это приводит к более сильному взаимодействию электронных оболочек примесных атомов и расщеплению дискретных энергетических уровней в примесные зоны. Соответственно уменьшается энергия ионизации примесей. Вследствие указанной причины . Чем больше концентрация примесей, тем выше температура их истощения.

При достаточно большой концентрации доноров () их энергия ионизации обращается в ноль, так как образовавшаяся примесная зона перекрывается зоной проводимости. Такой полупроводник является вырожденным. Температурная зависимость концентрации носителей заряда в этом случае характеризуется ломаной линией с двумя прямолинейными отрезками 3-8 и 8-9. Концентрация электронов в вырожденном полупроводнике л-типа постоянна во всем диапазоне примесной электропроводности. Вырожденный полупроводник способен проводить электрический ток даже при очень низких температурах. Перечисленные свойства роднят вырожденные полупроводники с металлами. Поэтому их иногда называет полуметаллами.

Положение уровня Ферми. Уровень Ферми является одним из основных параметров, характеризующих электронный газ в полупроводниках. Положение уровня Ферми в невырожденном полупроводнике при низких температурах можно найти путем логарифмирования уравнения (1.6.2):

отсюда следует, что

(1.6.6)

Как видно, при очень низких температурах уровень Ферми в полупроводнике n-типа лежит посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем. С повышением температуры вероятность заполнения донорных состояний уменьшается, и уровень Ферми перемещается вниз. При высоких температурах полупроводник по свойствам близок к собственному, а уровень Ферми устремляется к середине запрещенной зоны, как показано на рисунке 1.6.2, а.

Рисунок 1.6.2, а - Температурное изменение положения уровня Ферми в примесном полупроводнике n - типа

Все рассмотренные закономерности аналогичным образом проявляются и в полупроводниках р-типа. Температурная зависимость уровня Ферми для дырочного полупроводника показана на рис. 1.6.2, б.

На рисунке 1.6.3 приведена температурная зависимость концентрации свободных электронов для полупроводника n-типа, легированного донорной примесью с концентрацией

Рисунок 1.6.2, б - Температурное изменение положения уровня Ферми в примесном полупроводнике p - типа

Рисунок 1.6.3 - Температурная зависимость концентрации электронов в полупроводнике n-типа

Как видно из рисунка 1.6.3, существуют три интервала температур, в которых изменение концентрации носителей заряда носит различный характер. Рассмотрим физические процессы, определяющие зависимость n(T). Область I (интервал температур от T=0 K до T S).C увеличением температуры концентрация свободных электронов возрастает за счет ионизации атомов полупроводника и атомов примеси. Но для ионизации атома полупроводника требуется сообщить электрону энергию, не меньшую E g , поэтому в рассматриваемой области низких температур собственная концентрация носителей заряда пренебрежимо мала. В полупроводнике n-типа имеется донорная примесь, дающая в запрещенной зоне энергетический уровень E D . Поэтому рост концентрации электронов в рассматриваемом диапазоне температур происходит главным образом благодаря ионизации атомов донорной примеси. Область I называется областью слабой ионизации или областью вымораживания. Границей этого интервала со стороны высоких температур является температура истощения примеси T S . Если качественно проанализировать связь температуры истощения примеси с глубиной залегания примесного уровня (E C -E D) и концентрацией примеси N д, то станет ясно, что T S пропорциональна указанной величине

Область II (интервал температур от T S до T I).При дальнейшем повышении температуры количество ионизированных атомов примеси и, соответственно, концентрация свободных электронов в зоне проводимости возрастают. Наконец, примесь полностью истощается, после чего концентрация свободных электронов остается практически постоянной и равной N d , так как вся примесь полностью ионизирована и не может служить источником дальнейшего роста числа свободных электронов, поэтому данная область называется областью истощения примеси. Температура T I является температурой перехода от примесной электропроводности к собственной.

Область 3 (интервал температур больших T I).При повышении температуры в этой области концентрация электронов возрастает за счет ионизации атомов полупроводника, наступает собственная электропроводность. Температура T I перехода от примесной электропроводности к собственной пропорциональна ширине запрещенной зоны и концентрации донорной примеси

(1.6.8)

В области слабой ионизации

(1.6.9)

В области истощения примеси

В области собственной проводимости

где n i - собственная концентрация носителей заряда в полупроводнике, определяемая как

(1.6.11)

здесь N C и N V - эффективная плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне, соответственно

(1.6.12)

(1.6.13)

7 Донорные и акцепторные полупроводники

Донорные полупроводники - получаются при добавлении в полупроводник элементов, от которых легко "отрывается" электрон. Например, если к четырехвалентному кремнию (или германию) добавить пятивалентный мышьяк (или фосфор), то последний использует свои 4 валентных электрона для создания 4 валентных связей в кристаллической решетке, а пятый электрон окажется "лишним", такой электрон легко отрывается от атома и начинает относительно свободно перемещаться по кристаллу. В таком случае в кристалле образуется избыток свободных электронов. Не следует забывать и об образовании пар электрон - дырка, как это рассматривалось в случае беспримесного полупроводника, однако для этого требуется значительно большая энергия, и поэтому вероятность такого процесса при комнатных температурах достаточно мала

На языке зонной теории появление "легко отрывающихся" электронов соответствует появлению в запрещенной зоне донорных уровней вблизи нижнего края зоны проводимости, как показано на рисунке 1.7.1

Рисунок 1.7.1 - Схема электронных состояний донорного полупроводника

При температурах порядка комнатной основной вклад в проводимость полупроводника будут давать электроны, перешедшие в зону проводимости с донорных уровней, вероятность же перехода электронов из валентной зоны будет очень мала. электрон акцепторный полупроводник температура

При увеличении температуры значительная часть электронов с малого числа донорных уровней перейдет в зону проводимости, кроме того, вероятность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости станет значительной. Поскольку число уровней в валентной зоне много больше, чем число примесных уровней, то с ростом температуры различие увеличивающихся концентраций электронов и дырок станет менее заметно; они будут отличаться на малую величину - концентрацию донорных уровней. Донорный характер полупроводника при этом будет все менее и менее выражен. И, наконец, при еще большем повышении температуры концентрация носителей заряда в полупроводнике станет очень большой, и донорный полупроводник станет аналогичен беспримесному полупроводнику, а затем - проводнику, зона проводимости которого содержит много электронов.

Уровень Ферми в донорном полупроводнике смещается вверх по шкале энергии, причем это смещение больше при низких температурах, когда концентрация свободных электронов значительно превышает число дырок. При повышении температуры, когда донорный характер полупроводника становится все менее и менее выраженным, уровень Ферми смещается в среднюю часть запрещенной зоны, как в беспримесном полупроводнике.

Акцепторные полупроводники - получаются при добавлении в полупроводник элементов, которые легко "отбирают" электрон у атомов полупроводника. Например, если к четырехвалентному кремнию (или германию) добавить трехвалентный индий, то последний использует свои три валентных электрона для создания трех валентных связей в кристаллической решетке, а четвертая связь окажется без электрона. Электрон из соседней связи может перейти на это пустое место, и тогда в кристалле получится дырка. Это показано на рисунке 1.7.2

В таком случае в кристалле образуется избыток дырок. Не следует забывать и об образовании пар электрон - дырка, как это рассматривалось в случае беспримесного полупроводника, однако вероятность этого процесса при комнатных температурах достаточно мала.

Рисунок 1.7.2 - Образование и движение электронов и дырок в полупроводниках

На языке зонной теории переход электрона из полноценной ковалентной связи в связь с недостающим электроном соответствует появлению в запрещенной зоне акцепторных уровней вблизи нижнего края зоны проводимости. Схема такого состояния показана на рисунке 1.7.3

Рисунок 1.7.3 - Схема электронных состояний акцепторного полупроводника

Электрону для такого перехода из валентной зоны на акцепторный уровень (при этом электрон просто переходит из одной ковалентной связи в почти такую же другую связь) требуется меньше энергии, чем для перехода из валентной зоны в зону проводимости (рисунок 1.7.3), то есть для "полного ухода" электрона из ковалентной связи.

При температурах порядка комнатной основной вклад в проводимость полупроводника будут давать дырки, образовавшиеся в валентной зоне после перехода валентных электронов на акцепторные уровни, вероятность же перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости будет очень мала.

При увеличении температуры значительная часть малого числа акцепторных уровней окажется занятой электронами. Кроме того, вероятность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости станет значительной. Поскольку число уровней в валентной зоне много больше, чем число примесных уровней, то с ростом температуры различие увеличивающихся концентраций электронов и дырок станет менее заметно, так как они отличаются на малую величину - концентрацию акцепторных уровней. Акцепторный характер полупроводника при этом будет все менее и менее выражен. И, наконец, при еще большем повышении температуры концентрация носителей заряда в полупроводнике станет очень большой, и акцепторный полупроводник станет аналогичен сначала беспримесному полупроводнику, а затем - проводнику.

Можно показать, что уровень Ферми в акцепторном полупроводнике смещается вниз по шкале энергии, причем это смещение больше при низких температурах, когда концентрация дырок значительно превышает концентрацию свободных электронов. При повышении температуры, когда акцепторный характер полупроводника становится все менее и менее выраженным, уровень Ферми смещается в среднюю часть запрещенной зоны, как в беспримесном полупроводнике.

Итак, при постепенном увеличении температуры наблюдается постепенное превращение как донорного, так и акцепторного полупроводника в полупроводник аналогичный беспримесному, а затем - в полупроводник аналогичный по проводимости проводнику. В этом заключается причина отказа при перегреве полупроводниковых устройств, состоящих из нескольких областей полупроводников донорного и акцепторного типов. При увеличении температуры различия между областями постепенно пропадает и в итоге полупроводниковое устройство превращается в монолитный кусок хорошо проводящего ток полупроводника.

8 Зависимость концентрации электронов от энергии уровня Ферми

Концентрация электронов в зоне проводимости от донорных примесей

определяется положением уровня Ферми и находится из выражения, связывающего ее с уровнем Ферми,

где EF - энергия уровня Ферми;

Еc- энергия, соответствующая дну зоны проводимости;

k-постоянная Больцмана;

Т-абсолютная температура;

h-постоянная Планка;

mn - эффективная масса электрона.

Для построения зависимости концентрации электронов в зоне проводимости n от уровня Ферми необходимо подставить в уравнение

1.9 Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных полупроводниках

В собственном беспримесном полупроводнике положение уровня Ферми можно найти из условия, что количество электронов в зоне проводимости равно количеству дырок в валентной зоне: индекс i здесь и далее обозначает принадлежность к собственному полупроводнику.

Условие (1.9.1) приводит к тому, что уровень Ферми должен располагаться приблизительно посередине запрещенной зоны. Если уровень Ферми расположить ближе к зоне проводимости, то в таком полупроводнике электронов будет много больше, чем дырок, так как степень заполнения f(E) состояний у дна зоны проводимости существенно больше, чем степень их незаполненности (1-f(E)) у потолка валентной зоны. Функция распределения f(E) для этого случая представлена на рисунке 1.9.1, а, где для удобства сопоставления с энергетическими схемами ось энергий направлена вверх.

Рисунок 1.9.1, а - Функции распределения f(E) в полупроводниках п-типа ().

Рисунок 1.9.2, б - Функции распределения f(E) в полупроводниках п-типа ()

Наоборот, если поместить уровень Ферми вблизи валентной зоны, то дырок в валентной зоне станет много больше, чем электронов в зоне проводимости. Такая функция распределения представлена на рисунке 1.9.2,б

Таким образом, обеспечить равенство количеств электронов и дырок можно только в том случае, если расположить уровень Ферми посередине запрещенной зоны. В общем случае, однако, уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен лишь приблизительно посередине запрещенной зоны. Дело в том, что функции плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне могут отличаться друг от друга. Например, если то согласно 1.9.2, б и 1.9.3 плотность состояний в зоне проводимости выше, чем в валентной зоне (при одинаковом расстоянии рассматриваемых интервалов энергии от краев соответствующих зон).

Рисунок 1.9.3 - Зависимость концентрации свободных носителей тока от температуры в собственном полупроводнике

В таком случае для выравнивания концентраций электронов и дырок следует несколько опустить уровень Ферми к валентной зоне. Наоборот, если то уровень Ферми должен быть несколько выше середины запрещенной зоны.

Точное значение энергии Ферми в собственном полупроводнике получим

При уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны, при повышении температуры он смещается к той зоне, где меньше плотность состояний. Такая зависимость показана на рисунке 1.9.4

Рисунок 1.9.4 - Зависимость энергии Ферми (штрихпунктирная линия) от температуры в собственном полупроводнике

Так как обычно не очень сильно отличается от , то для полупроводников с шириной запрещенной зоны эВ или больше можно считать . Для узкозонных же полупроводников смещение уровня Ферми от середины запрещенной зоны нельзя не учитывать.

Найдём концентрацию свободных носителей тока в собственном полупроводнике:

Из (1.6.4) видно, что равновесная концентрация носителей тока в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой полупроводника, причем зависимость , от Т и очень резкая. Так, уменьшение с 1,12 эВ (кремний) до 0,08 эВ (серое олово) приводит при комнатной температуре к увеличению , на 9 порядков; увеличение температуры германия со 100 до 600 К повышает на 17 порядков. Прологарифмируем выражение (1.9.4)

(1.9.5)

Так как зависит от температуры гораздо слабее, чем по степенному закону, то график зависимости от представляет собой приблизительно прямую линию с угловым коэффициентом .

Для узкозонных полупроводников при повышенных температурах уровень Ферми может оказаться слишком близко (ближе, чем на () к одной из зон или даже к обеим зонам. В таком случае пользоваться выражениями и для невырожденных газов электронов и дырок нельзя и уравнение (1.9.5) следует решать численно.

2. Вычисление температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

Заряд электрона

Масса покоя атома

Энергия ионизации донорного уровня

- массы электронов по главным осям элипсоидов

- массы дырок по главным осям элипсоидов

Число долин в зоне проводимости

Число долин в валентной зоне

Концентрация донорных атомов

- постоянная Больцмана

Ширина запрещённой зоны

- температура

Постоянная Планка

После чего последовала необходимость перевести их в систему СИ. Теперь, когда все данные перед нами, можно начинать с приближённого расчёта зависимости концентрации электронов от температуры.

2.1 Приближённый расчёт зависимости концентрации электронов от температуры

Для начала я нашла среднюю температуру и эффективную массу электронов и дырок и , которые далее необходимы для вычисления эффективной плотности состояний в валентной зоне и зоне проводимости и

2 Аналитический расчёт зависимости концентрации свободных носителей заряда и положения уровня Ферми от температуры

Аналитический расчёт позволяет найти точные значения необходимых параметров.

Для начала я нашёл точные значения температуры собственной проводимости и температуры истощения примеси , используя функцию root, которая используется для нахождения нулей функции.

2.1 Нахождение точных значений и

Для построения графика зависимости концентрации дырок от температуры для различных областей, представленного в приложении В, я использовал точные значения концентраций в тех же трёх областях.

2.2 Область низких температур T11 (точные значения)

Данная работа является фундаментом приобретения высоких профессиональных навыков и рассчитана на широкий круг читателей - инженеров, научных работников и студентов младших и старших курсов технических вузов.

Необходимая информация, приведённая в моей курсовой работе, служит для привлечения молодых предприимчивых студентов к активной творческой деятельности в данном развивающимся направлении.

Список используемых источников

1. Пасынков В.В., Сорокин В.С. Материалы электронной техники 3-е изд. - СПб.: Издательство «Лань», 2001. - с 91-101.

. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Физические основы конструирования и технологии РЭА и ЭВА. - М.: Сов. Радио,1979. - 350с.

. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. Учебное пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2000.-384 с.(16 экз.).

. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников, 1977 год - с 167-200.

. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. С 225-231.

Приложение В (обязательное)

Графики зависимостей

Рисунок 1 - График зависимости концентрации носителей заряда от температуры (приближённые значения)

Рисунок 2 - График зависимости концентрации носителей заряда от температуры (точные значения)

Рисунок 3 - График зависимости положения уровней Ферми от температуры

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию РФ

Пензенский государственный университет

Кафедра нано- и микроэлектроники

Пояснительная записка

Курсовая работа по физике твердого тела

на тему: Расчет температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

Выполнил

студент группы 05КМ1

Васецкий А.М.

Лист заданий

Введение

1. Полупроводники

Заключение

Лист задания

на курсовую работу по физике твердого тела

на тему: Расчет температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников.

Построить график этой зависимости в координатах: ln(n) = f(1\T). Определить и построить графически зависимость энергии уровня Ферми от температуры.

Произвести расчет температур перехода к собственной проводимости и истощения примеси.

Расчет и построение графиков осуществить на ПК. Расчет концентрации свободных носителей заряда и энергии уровня Ферми осуществить в диапазоне температур с интервалом 10К.

Обозначения

E d (a) - энергия ионизации донорного, акцепторного уровня соответственно; m 1 n , m 2 n , т 3 n - массы электронов по главным осям эллипсоидов; m 1 p , m 2 p , m 3 p - массы дырок по главным осям эллипсоидов; M c (v) - число долин в зоне проводимости и валентной соответственно, m 0 = 9,1 10 -31 кг; N d (a) - концентрация донорных, акцепторных атомов соответственно, ДEg - ширина запрещенной зоны; Т - температура.

Исходные данные

Полупроводник донорного типа.

E д = 0,007 эВ; ДE g (T) = 0,5(эВ) - 4,9 · 10 -5 (эВ/К) · T(К); N д = 3 · 10 19 см -3 ;

m 1n = 1,6 · m 0 ; m 2n = 1,7 · m 0 ; m 3n = 1,5 · m 0 ; M C = 4;

m 1 p = 1,49 · m 0 ; m 2 p = 1,32 · m 0 ; m 3 p = 1,9 · m 0 ; M V = 3; T = (20…690) К.

Литература

1. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. Учебное пособие для вузов. -М.: Высш. шк., 2000. - 384 с. (16 экз.).

2. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Физические основы конструирования и технологии РЭА и ЭВА. - М.: Сов.Радио, 1979. - 350 с.

Курсовая работа содержит: 43 страниц, включая 11 рисунков, 7 таблиц, приложения и список литературы, состоящий из семи наименований.

Ключевые слова: уровень Ферми; эффективная плотность состояний; полупроводники n-типа; энергия ионизации донорного уровня; температура истощения примесей; температура переходов собственной проводимости; запрещённая зона; зона проводимости; валентная зона; концентрация свободных носителей заряда.

Во введении описаны полупроводники в общем, их типы и виды, отличие от металлов и диэлектриков, свойства полупроводников, которыми они характеризуются, а также области их применения и их актуальность.

В первой главе дана классификация веществ по электропроводности, проанализированы свойства собственных и примесных полупроводников, рассмотрены типы проводимости полупроводников. Кроме этого рассмотрены типы примесей и разобраны энергетические зонные диаграммы как примесных, так и собственных полупроводников, определен критерий невырожденности электронного газа. Также рассмотрена эффективная масса плотности состояний и статистика носителей в собственных полупроводниках.

Во второй главе курсовой работе представлен расчёт эффективной массы плотности состояний электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, температурной зависимости электрофизических свойств примесных полупроводников донорного типа.

Введение

Научно-технический прогресс немыслим без электроники. Интенсивное развитие электроники связано с появлением новых разнообразных полупроводниковых приборов и интегральных микросхем, которые находят широкое применение в вычислительной технике, автоматике, радиотехнике и телевидении, в установках измерительной техники, медицины, биологии и т.д.

Полупроводники представляют собой обширную группу веществ, занимающих по величине удельного сопротивления промежуточное положение между диэлектриками и проводниками. Отличительным свойством полупроводников является сильная зависимость их удельного сопротивления от концентрации примесей. При введении примесей изменяется не только значение проводимости, но и характер ее температурной зависимости. У большинства полупроводников удельное сопротивление зависит также от температуры и других внешних энергетических воздействий (свет, электрическое и магнитное поле, ионизирующее излучение и т.д.). На управлении с помощью тепла, света, электрического поля, механических усилий электропроводностью полупроводников основана работа терморезисторов (термисторов), фоторезисторов, нелинейных резисторов (варисторов), тензорезисторов .

Полупроводниковые материалы по химическому составу можно разделить на простые и сложные.

Простыми (элементарными) полупроводниковыми материалами являются 12 химических элементов периодической системы: в III группе - В; в IV - С, Ge, Si. Sn (серое олово); в V - Р, As, Sb; в VI - S, Se, Те; в VII -I. В полупроводниковой электронике в основном применяют Ge и Si, а остальные используют в качестве легирующих добавок или компонентов сложных соединений.

Сложными полупроводниковыми материалами являются химические соединения, обладающие полупроводниковыми свойствами и включающие два, три и более элементов. Полупроводниковые соединения, состоящие из двух элементов, приято называть бинарными. Они обозначаются буквами латинского алфавита с цифровыми индексами (римские цифры над буквами обозначаются группу в периодической системе, а арабские цифры под буквами -стехиометрический коэффициент): АШВV (GaAs, JnSb), AIIBVI(CdS. ZnSe), AIVBVI(PbTe), AIVBIV(SiC), A2VB3VI(Bi2Te3) и т.д.

Твердые растворы полупроводниковых материалов обозначают символами входящих в него элементов с индексами, которые указывают атомную долю этих элементов в растворе.

Для изготовления полупроводниковых приборов и устройств микроэлектроники используют как монокристаллы, так и поликристаллические материалы .

Совершенные кристаллы полупроводников при абсолютном нуле являются диэлектриками. Характерные для полупроводников свойства проявляются при конечных температурах, при наличии примесей, при отклонениях состава вещества от стехиометрии. Проводимость полупроводников занимает промежуточное значение между типичными диэлектриками и металлами:

Диэлектрики -- у ~ 10 - 16 (Ом · м) -1 ;

Полупроводники -- у ~ 10 -4 -10 5 (Ом · м) -1 ;

Металлы -- у ~ 10 6 -10 8 (Ом · м) -1

Важным отличием полупроводников от металлов является характер температурной зависимости проводимости: если для типичных металлов проводимость обратно пропорциональна температуре (при не слишком низких значениях температуры), то у беспримесных полупроводников проводимость растет с ростом температуры по экспоненциальному закону.

Специфические полупроводниковые эффекты применяются в разнообразных приборах и устройствах, таких, как:

Полупроводниковые термоэлектрогенераторы;

Полупроводниковые диоды для выпрямления переменного тока и детектирования модулированных колебаний;

Туннельные диоды для генерации сверхвысокочастотных электромагнитных волн;

Свето- и фотодиоды, фотоэлементы, солнечные батареи;

Термисторы и тензорезисторы (их сопротивления известным образом зависят от температуры или механического давления);

Варикапы (конденсаторы с изменяемой электрическим полем емкостью);

Биполярные и полевые транзисторы, микросхемы различного назначения на их основе;

Запоминающие устройства (оперативная память ЭВМ);

Приборы с зарядовой связью, применяемые, например, для

создания миниатюрных видеокамер;

Высокотемпературные полупроводниковые нагревательные

элементы .

Одной из электрофизических характеристик полупроводников является концентрация. Она изменяется в зависимости от температуры. По температурной зависимости концентрации свободных носителей заряда в координатах ln(n)= f(1/T) можно определить энергия ионизации донорного или акцепторного уровня и ширину запрещённой зоны.

Другой характеристикой полупроводников является электропроводность.

Электропроводность собственных полупроводников является прямой линией построенной в координатах ln(у)= f(1/T). Угол наклона этой прямой определяет ширину запрещённой зоны собственного полупроводника.

Уровень Ферми также является электрофизической характеристикой полупроводников. Энергия уровня Ферми также изменяется от температуры.

1. Полупроводники

1.1 Классификация веществ по электропроводности

Все твердые тела по электрофизическим свойствам разделяются на три основных класса: металлы, диэлектрики и полупроводники. Если в основу классификации положить величину удельной электропроводности, то при комнатной температуре она имеет значения в следующих пределах:

металлы -- (10 7 -- 10 6) Сим/м

полупроводники -- (10 -8 -- 10 6) Сим/м

диэлектрики -- (10 -8 -- 10 -16) Сим/м.

Такая чисто количественная классификация совершенно не передает специфических особенностей электропроводности и других свойств, сильно зависящих для полупроводника от внешних условий (температуры, освещенности, давления, облучения) и внутреннего совершенства кристаллического строения (дефекты решетки, примеси и др.) .

Рассмотрим, например, температурную зависимость проводимости металлов и полупроводников.

Для химически чистых металлов с ростом температуры сопротивление увеличивается по линейному закону в широком температурном интервале

R(t)=R 0 (1+t), (1.1.1)

где R 0 - сопротивление при t=0C, R(t) - сопротивление при tC, - термический коэффициент сопротивления, равный примерно 1/273.

Для металлов

Для полупроводников сопротивление с ростом температуры быстро уменьшается по экспоненциальному закону

где R 0 , B - некоторые постоянные для данного интервала температур величины, характерные для каждого полупроводникового вещества. На рисунке 1.1 представлены температурные зависимости сопротивления металлов и полупроводников.

Рисунок 1.1 - Температурные зависимости сопротивления металлов и полупроводников.

Для удельной проводимости формулу можно записать в виде

где E а - энергия активации, k - константа Больцмана. Наличие энергии активации E а означает, что для увеличения проводимости к полупроводниковому веществу необходимо подвести энергию.

В идеальной решетке все электроны связаны, свободных носителей заряда нет, и поэтому при наложении электрического поля электрический ток возникнуть не может . Для его возникновения необходимо часть электронов сделать свободными. Но для отрыва электрона необходимо затратить энергию. Ее можно подвести к решетке в виде энергии фотона или в виде энергии тепловых колебаний решетки. При наложении на кристалл электрического поля E свободные электроны, участвуя в хаотическом тепловом движении, будут испытывать действие силы e n E и придут в дрейфовое движение против поля. Если обозначить концентрацию электронов через n, их подвижность через n ,то плотность электрического тока будет равна

J n = q n n E= n E, (1.1.6)

где через q n обозначен заряд электрона.

В полупроводниках проводимость зависит от внешних условий, поскольку, меняя интенсивность освещения, облучение или температуру, можно менять концентрацию носителей заряда в широких пределах, в то время как в металлах число электронов остается неизменным при изменении внешних условий и температуры. Однако это не единственное различие между металлами и полупроводниками. В последних существует два механизма проводимости .

Незавершенная связь вследствие движения электронов может перемещаться от атома к атому, т.е. может совершать хаотические движения по кристаллу. При наложении внешнего электрического поля E на связанные электроны будет действовать сила q n E, поэтому они, перемещаясь против поля, будут занимать вакантную связь. Наличие вакансий в связях позволяет валентным электронам перемещаться против поля. Тем самым совокупность валентных электронов также участвует в образовании проводимости полупроводников.

Удобнее рассматривать не движение совокупности валентных электронов, а движение вакантных связей.

Обозначив число вакантных связей через p, а их подвижность через p , можно выразить ток совокупности связанных электронов следующим образом:

J p = q p p pE = p E. (1.1.7)

Вакантная связь получила название дырки. Дырки рассматривают как некие квазичастицы, движение которых вполне адекватно движению валентных электронов.

1.2 Собственные и примесные полупроводники

1.2.1 Носители заряда в собственных полупроводниках

Проводимость химически чистых (беспримесных) полупроводников называется собственной проводимостью, а сами полупроводники -- собственными полупроводниками.

На рисунке 1.2,а показана зонная структура собственного полупроводника при абсолютном нуле: над полностью укомплектованной валентной зоной I на расстоянии E g располагается совершенно свободная зона II.

Рисунок 1.2 - Зонная структура собственного полупроводника:

а - невозбужденного; б - возбужденного.

При температуре Т, отличной от абсолютного нуля, часть электронов из валентной зоны переходит в свободную зону II (рисунок 1.2,б), которая, оказавшись укомплектованной лишь частично, становится зоной проводимости. С другой стороны, ранее целиком заполненная зона I, потеряв часть электронов, превращается в зону, заполненную также лишь частично. Появление таких зон делает тело проводником .

Таким образом, основная особенность полупроводника состоит в том, что электрическая проводимость его является активированной: она появляется лишь под воздействием внешнего ионизирующего фактора (температуры, облучения, сильного электрического поля и др.), способного электроны валентной зоны перебросить в зону проводимости.

Зона проводимости, в которую переходит относительно небольшое число электронов из валентной зоны, заполняется частично. Перешедшие электроны занимают преимущественно наиболее низкие уровни, расположенные у дна зоны. Как показано в предыдущей главе, во внешнем поле, созданном в полупроводнике, такие электроны ведут себя нормально, как частицы, обладающие отрицательным зарядом и положительной эффективной массой. От свободных электронов они отличаются лишь величиной этой массы.

Появление в валентной зоне вакантных мест (незаполненных уровней) делает возможным возникновение коллективного движения электронов этой зоны под действием внешнего поля, которое удобно описывать, пользуясь понятием «дырки».

Поведение электронов и дырок удобно рассматривать на языке состояний, сопоставляя электрону занятое состояние в зоне, дырке -- свободное состояние. Это позволяет усмотреть симметрию между зоной проводимости и валентной зоной: в зоне проводимости занятые состояния перемещаются на фоне свободных состояний, в валентной зоне -- свободные состояния перемещаются на фоне занятых. При этом статистика занятых состояний в зоне проводимости оказывается аналогичной статистике свободных состояний в валентной зоне .

1.2.2 Носители заряда в примесных полупроводниках

В отличие от собственных полупроводников, в которых проводимость осуществляется одновременно электронами и дырками, в примесных полупроводниках проводимость обусловливается в основном носителями одного знака: электронами в донорных полупроводниках (в полупроводниках n-типа) и дырками в акцепторных полупроводниках (в полупроводниках p-типа). Эти носители называются основными .

Помимо основных носителей полупроводник содержит всегда и неосновные носители: электронный полупроводник-- дырки, дырочный полупроводник -- электроны. Концентрация их, как правило, значительно ниже концентрации основных носителей. Связь между концентрациями основных и неосновных носителей в полупроводнике будет рассмотрена ниже.

1.2.3 Невырожденные и вырожденные полупроводники

Число электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне полупроводника обычно значительно меньше числа квантовых состояний, содержащихся в этих зонах. Поэтому средняя плотность заполнения состояний электронами и дырками f оказывается значительно меньше единицы:

f << 1. (1.2.1)

Функция f представляет собой функцию распределения частиц по состояниям, а условие (1.2.1) -- критерий невырожденности газа .

Таким образом, электронный газ в зоне проводимости и дырочный газ в валентной зоне являются обычно газами невырожденными. Полупроводники, у которых газ носителей является невырожденным, называются невырожденными полупроводниками.

Однако условие (1.2.1) выполняется в полупроводниках не всегда и газ носителей в них может находиться и в вырожденном состоянии. Такие полупроводники называются вырожденными.

1.3 Эффективная масса плотности состояний

Выражение для плотности состояний в энергетическом пространстве для электронов в кристалле может быть записано следующим образом:

Масса m c , входящая в формулу (1.3.1), представляет собой эффективную массу носителей заряда. Ее называют эффективной массой плотности состояний . Для свободных электронов она равна просто массе электрона m; для кристаллов со сферическими зонами -- изотропной эффективной массе электрона. Для кристаллов, обладающих многодолинной структурой энергетических зон, эффективная масса плотности состояний m c , входящая в формулу (1.3.1) равна:

где l -- число долин в зоне; m 1 , m 2 , m 3 -- эффективные массы в направлениях k x , k y , k z . В частности для кремния, имеющего 6 долин, каждая из которых представляет эллипсоид вращения, эффективная масса плотности состояний электронов в зоне проводимости равна:

где m l , m t --соответственно продольная и поперечная эффективные массы электрона.

Для германия, имеющего 4 долины, эффективная масса плотности состояний электронов в зоне проводимости равна:

Экспериментальные измерения показывают, что для кремния m l = 0,98m, m t = 0,19m, поэтому

Для германия m l = 1,64m, m t = 0,082m, и m c =0,56m. (1.3.6)

1.4 Статистика носителей в собственных полупроводниках

Рассмотрим электронный газ в зоне проводимости. Примем за начало отсчета энергии электронов дно зоны проводимости (рис. 1.3,а). Химический потенциал электронов зоны проводимости равен:

где n -- концентрация электронов в зоне проводимости;

Эффективное число состояний в зоне, приведенное ко дну зоны проводимости (к E = 0). Так как для невырожденного газа n < N c , то µ n < 0. Следовательно, уровень Ферми (уровень химического потенциала) для электронов зоны проводимости должен располагаться ниже дна зоны, причем тем ниже, чем меньше концентрация электронов в зоне, т. е. чем более невырожденным является электронный газ. С увеличением концентрации электронов в зоне уровень Ферми непрерывно поднимается ко дну зоны. На рисунке 1.3,а -- г показаны положения уровня Ферми при различных степенях заполнения зоны проводимости электронами; занятые состояния в зоне выделены вертикальной штриховкой.

Рисунок 1.3 - Изменение положения уровня Ферми при установлении равновесия между электронами зоны проводимости и дырками валентной зоны:

а, б - неравновесные состояния при которых число электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне меньше равновесного; в - установление равновесия между электронами и дырками. Уровни Ферми µ n и µ p сливаются в один общий уровень; г - неравновесное состояние, при котором концентрация электронов и дырок выше равновесной .

Рассмотрим теперь дырочный газ в валентной зоне. За начало отсчета энергии дырок примем, как и ранее, потолок валентной зоны (рисунок 1.3,а). Химический потен- потенциал дырок равен:

где р -- концентрация дырок в валентной зоне;

Эффективное число незанятых состояний в валентной зоне, приведенное к ее потолку. Так как p < N v , то µ p < 0 и уровень Ферми для дырок располагается выше потолка валентной зоны. На рисунке 1.3,а--г показано изменение положения уровня Ферми для дырок по мере увеличения их концентрации в валентной зоне.

Из рисунка 1.3 видно, что в общем случае уровни Ферми для электронов µ n и для дырок µ p могут не совпадать друг с другом. Только с установлением равновесия между электронами и дырками уровни µ n и µ p сливаются, образуя единый равновесный уровень µ. Этот случай показан на рис. 1.3,в. Рисунки 1.3,а и б соответствуют неравновесным состояниям, при которых концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне ниже равновесной. Установление равновесия происходит путем самопроизвольного перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости, показанного на рисунках широкими стрелками. Рисунку 1.3,г отвечает неравновесное состояние, при котором концентрация электронов и дырок выше равновесной. В этом случае установление равновесия происходит путем перехода избыточных электронов из зоны проводимости в валентную зону .

Обозначим расстояние от равновесного уровня Ферми до дна зоны проводимости через µ, до потолка валентной зоны -- через µ" (рис. 1.3,в). Тогда выражения (1.4.1) и (1.4.3) перепишутся следующим образом:

где n i и p i -- соответственно равновесные концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне собственного полупроводника. Из (1.4.5) и (1.4.6) следует, что

Так как µ и µ" являются величинами отрицательными, то из (1.4.7) и (1.4.8) вытекает, что равновесная концентрация носителей в зоне тем ниже, чем дальше от нее отстоит равновесный уровень Ферми.

Если за нуль отсчета энергии для электронов и дырок принять дно зоны проводимости, то, как видно из рисунка 1.4.1, в, µ + µ" = - Е g .

Отсюда находим:

Подставив это выражение в (1.4.8), получим:

Ввиду того, что в собственных полупроводниках носители возбуждаются всегда парами, имеет место следующее равенство:

Приравняв правые части выражений (1.4.7) и (1.4.10), получим:

Отсюда находим выражение для равновесного уровня Ферми:

Подставив в (1.4.12) N v из (1.4.4) и N c из (1.4.2), получим:

Из (1.4.13) видно, что при абсолютном нуле

Равновесный уровень Ферми в собственном полупроводнике располагается посередине запрещенной зоны . С повышением температуры он поднимается обычно несколько вверх, так как эффективная масса дырок, как правило, больше эффективной массы электронов, располагающихся в зоне проводимости. Для большинства собственных полупроводников при обычных температурах это смещение столь мало, что им пренебрегают. Однако в таких полупроводниках, как InSb, в котором m p /m n 20 и E g 0,l7 эВ, этим смещением уже при комнатной температуре пренебрегать нельзя.

Подставив µ из (1.4.12) и (1.4.13) в (1.4.7) или в (1.4.10), получим следующее выражение для равновесной концентрации носителей в собственных полупроводниках:

Из (1.4.15) видно, что равновесная концентрация носителей тока в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой полупроводника. В качестве примера в таблице 1.1 приведена концентрация носителей при комнатной температуре в кремнии, германии и сером олове, имеющих один и тот же тип решетки, но различную ширину запрещенной зоны. Из данных таблицы 1.1 видно, что уменьшение ширины запрещенной зоны с 1,21 до 0,08 эВ (в 15 раз) вызывает увеличение концентрации носителей примерно на 9 порядков.

Таблица 1.1 - Концентрация носителей при комнатной температуре в Si, Ge и Sn.

Таблица 1.2 - Изменение концентрации носителей в германии.

В таблице 1.2 показано изменение концентрации носителей в германии при изменении температуры. Увеличение температуры со 100 до 600° К приводит к увеличению концентрации носителей примерно на 16 порядков.

2. Определение электрофизических свойств полупроводников

2.1 Определение эффективной массы плотности состояний

Для свободных электронов эффективная масса плотности состояний me равна просто массе электрона m 0 . Для кристаллов, обладающих многодолинной структурой энергетических зон, эффективная масса плотности состояний будет равна :

где М - число долин в зоне; m 1 , m 2 , m 3 - эффективные массы в направлениях kx, ky, kz.

В частности, для моего варианта эффективная масса плотности состояний электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне равна:

2.2 Статистика электронов в примесных полупроводниках донорного типа

На рисунке 2.1,а показана зонная структура примесного полупроводника n-типа. Обозначим концентрацию примеси (число донорных атомов в единице объема кристалла) через N Д. Энергию электрона в зоне проводимости будем откладывать, как всегда, вверх от дна зоны, энергию вакансий (дырок), образующихся на примесных уровнях - вниз от этих уровней.

Рассмотрим положение равновесного уровня Ферми и равновесную концентрацию электронов в зоне проводимости при различных температурах полупроводника.

Рисунок 2.1 - Изменение положения уровня Ферми в зависимости от температуры в примесных полупроводниках n-типа:

а - зона проводимости и примесные уровни; б - изменение - при N д < N c ; в - изменение - при N д > N c .

2.2.1 Область низких температур

Рассмотрим область примесной проводимости. Изобразим энергетическую зонную диаграмму донорного полупроводника для заданного диапазона температур (рисунок 2.2). В области низких температур, в котором kT << E d , переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости можно пренебречь и считать, что все электроны проводимости появляются в результате ионизации донорной примеси.

электропроводность заряд энергия температура

Рисунок 2.2 - Энергетическая зонная диаграмма донорного полупроводника для области низких температур .

Равновесная концентрация этих электронов, согласно (1.4.1), равна

где - расстояние от дна зоны проводимости до равновесного уровня Ферми.

Равновесная концентрация ионизированных доноров равна:

где - расстояние от примесных уровней до уровня Ферми. Так как полное число примесных состояний равно концентрации примесных атомов N д, а то (2.2.2) можно переписать следующим образом:

В приближении, в котором концентрацией свободных электронов в зоне проводимости можно пренебречь, n должно, очевидно, равняться p. Приравнивая (2.2.1) и (2.2.3), получим:

Отсюда находим равновесный уровень Ферми:

При T = 20К имеем

Таблица 2.1 - Зависимость энергии уровня Ферми от температуры в области низких температур.

При абсолютном нуле равновесный уровень Ферми располагается посередине между дном зоны проводимости и примесными уровнями .

При повышении температуры в полупроводнике протекают два процесса: увеличение концентрации электронов n вследствие ионизации примесных атомов и увеличение числа состояний в зоне N c T 3/2 . Если n растет медленнее, чем N c , что имеет место при N д < N c , то степень невырожденности газа увеличивается и уровень Ферми (1.4.1) опускается вниз (рисунок 2.1,б). Если n растет быстрее N c (при N д > N c), то степень невырожденности газа уменьшается и поднимается вверх до тех пор, пока N д не сравняется с N c . При дальнейшем повышении температуры n начинает снова отставать от N c и начинает опускаться вниз примерно пропоционально T, как показано на рисунке 2.1,в .

Подставив в (2.2.1) равновесный уровень Ферми из (2.2.4), получим следующее выражение для равновесной концентрации электронов проводимости:

При T = 20К имеем

Таблица 2.2 - Зависимость концентрации свободных носителей заряда от температуры в области низких температур.

2.2.2 Область истощения примеси

Рассмотрим область истощения примеси. Изобразим энергетическую зонную диаграмму для донорного полупроводника для данного диапазона температур (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 - Энергетическая зонная диаграмма донорного полупроводника для области истощения примеси .

По мере повышения температуры концентрация электронов в зоне проводимости увеличивается, концентрация электронов на примесных уровнях уменьшается - примесные уровни постепенно истощаются. При полном истощении этих уровней концентрация электронов в зоне проводимости становится равной концентрации примеси:

Т. е. для всей области истощения примеси концентрация электронов в зоне проводимости постоянна и равна

Подставив это значение n в (1.4.1), получим равновесный уровень Ферми, отвечающий полному истощению примеси:

где T s - температура, при которой происходит полное истощение примеси. Уровень должен располагаться ниже E д, так как при ионизации подвергается примерно лишь половина примесных уровней. Часто, однако, за температуру истощения примеси принимают температуру T s , при которой уровень Ферми совпадает с донорными уровнями E д: .

Подставив значение в (1.4.1) и положив в этой формуле n = N д /2, получим:

Из (2.2.8) видно, что T s тем ниже, чем меньше энергия ионизации доноров E д и ниже их концентрация N д. Для германия с N д = 10 22 м -3 и E д = 0,01 эВ T s = 32 К.

Произведем приближенный расчет температуры истощения примеси T S:

Произведем числовой расчет зависимости энергии уровня Ферми от температуры:

Ниже приведена таблица зависимости энергии уровня Ферми от температуры для данной области.

Таблица 2.3 - Зависимость энергии уровня Ферми от температуры в области истощения примеси.

2.2.3 Область высоких температур (область перехода к собственной проводимости)

Рассмотрим область собственной проводимости. Изобразим энергетическую зонную диаграмму для данного диапазона температур (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - Энергетическая зонная диаграмма донорного полупроводника для области высоких температур .

При всех температурах, отличных от абсолютного нуля, термическому возбуждению подвергаются не только электроны примесных атомов, но и электроны валентной зоны. Поэтому концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций «примесных» электронной n пр и собственных n i:

Выше температуры истощения примесей n пр N д и

До тех пор, пока n i << N д, концентрация электронов в зоне проводимости сохраняется практически неизменной и равной N д. Однако при достаточно высоких температурах концентрация собственных носителей может не только достичь значения N д, но и значительно превзойти его. В этом случае концентрацией «примесных» электронов в (2.2.9) можно пренебречь и считать, что n n i . Это соответствует переходу к собственной проводимости полупроводника .

С учетом этого уравнение (2.2.8) можно переписать в виде:

Подставим в уравнения (1.4.2), (1.4.4) и (2.2.10) числовые значения:

Ниже приведена таблица зависимости концентрации свободных носителей заряда от температуры для данной области.

Таблица 2.4 - Зависимость концентрации свободных носителей заряда от температуры в области высоких температур.

Рассмотрим характер изменения равновесного уровня Ферми в этой области температур. Подставив n из (2.2.9) в (1.4.1), получим:

При достаточно низких температурах второе слагаемое в скобках мало по сравнению с первым и уровень ферми изменяется с температурой практически линейно, как показано на рисунке 2.1,в. С увеличением температуры в (1.4.1), получим:

непрерывно уменьшается и стремится к предельному значению, равному:

Химический потенциал электронного газа в собственном полупроводнике. Это и означает переход к собственной проводимости полупроводника. За температуру такого перехода принимают температуру T i , при которой пунктирная прямая, показанная на рисунке 2.1,в и описываемая уравнением (2.2.7), пересекает уровень Ферми в собственном полупроводнике (1.4.11) . Приравнивая при T i правые части (1.4.11) и (2.2.7), получим:

Отсюда находим:

Из (2.2.13) видно, что температура перехода к собственной проводимости тем выше, чем шире запрещенная зона полупроводника и больше концентрация примеси в нем. Для германия при N д = 10 22 м -3 T i = 450 К. Произведем приближенный расчет температуры перехода к собственной проводимости T i:

Произведем числовой расчет энергии уровня Ферми:

Ниже приведена таблица зависимости энергии уровня Ферми от температуры для данной области.

Таблица 2.5 - Зависимость энергии уровня Ферми от температуры в области высоких температур.

По формулам (2.2.5), (2.2.6), (2.2.10) в среде математического моделирования MathCAD построим графики для всех трех областей в координатах ln(n)= f(1/T) для приближенных значений T s и T i .

Рисунок 2.5 - Температурная зависимость концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике донорного типа с учетом приближенных значений температур T s и T i .

В графическом редакторе Paint графики были дочерчены до пересечения между собой. И методом трассировки были определены точные значения температур истощения примеси T s = 1/0,0077 = 129,9 К и перехода к собственной проводимости T i = 1/0,0012 = 843 К (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 - Температурная зависимость концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике донорного типа с учетом точных значений температур T s и T i .

Построим график температурной зависимости концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике донорного типа с учетом найденных температурных интервалов.

Рисунок 2.7 - Температурная зависимость концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике донорного типа.

На рисунке 2.7 показана кривая зависимости натурального логарифма из концентрации электронов в зоне проводимости полупроводника от обратной температуры. На кривой можно выделить три участка: участок АБ, отвечающий примесной проводимости полупроводника, участок БВ, соответствующий области истощения примеси, и участок ВГ, отвечающий собственной проводимости полупроводников . Из (2.2.6) и (1.4.15) следует, что

По формулам (2.2.4), (2.2.7), (2.2.11) и исходным данным курсовой работы в среде математического моделирования MathCAD был построен график зависимости энергии уровня Ферми от температуры.

Рисунок 2.8 - Температурная зависимость энергии уровня Ферми в полупроводнике донорного типа.

Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы мною была рассчитана эффективная масса плотности состояний электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, определена эффективная плотность состояний в валентной зоне и зоне проводимости, найдены значения температуры истощения примесей и температуру перехода к собственной проводимости графическим методом в среде математического моделирования MathCAD: Т s = 129,9К, Т i = 843К. Также были рассчитаны концентрации свободных носителей заряда и построены графики зависимости концентрации свободных носителей заряда от температуры в координатах ln(n)= f(1/T) для всех 3-х областей. Рассчитана энергия уровня Ферми в зависимости от температуры для всех 3-х областей и построены графики температурной зависимости энергии уровня Ферми в координатах Еf= f(T). Произведен анализ литературных данных, на основе которых составлен алгоритм выполнения поставленной задачи и получены формулы, необходимые для расчета.

Список используемых источников

1. Антонова В.А., Бородин А.В., Гордиенко Ю.Е., Слипченко Н.И. Материалы электронной техники. Учеб. пособ. - Харьков., ХНУРЭ, 2001. - С. 160.

2. Зиненко. Физика твёрдого тела.- С. 244-245.

3. Епифанов Г.И. Физические основы микроэлектроники. М., «Советское радио», 1971. - С.150-170.

4. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твёрдого тела.- М., Мир, 1979.- Т.2.- С. 188.

5. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М., 1963. - С.390

6. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М., 1977. - с. 679.

7. Конспект лекций по физике твердого тела. - II семестр.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Расчет температурной зависимости концентрации электронов в полупроводнике акцепторного типа. Определение и графическое построение зависимости энергии уровня Ферми от температуры: расчет температур перехода к собственной проводимости и истощения примеси.

курсовая работа , добавлен 15.02.2013


Главные приближения, лежащие в основе зонной теории. Кристаллическая решетка полупроводника, его энергетические уровни. Наличие электронов в зоне проводимости или наличие вакантных мест в валентной зоне, необходимое для возникновения электропроводности.

реферат , добавлен 30.06.2015


Энергетические зоны в полупроводниках. Энергетическая диаграмма процесса переноса электрона с энергетического уровня в зону проводимости. Пример внедрения трехвалентного атома в решетку кремния. Эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

реферат , добавлен 26.08.2015


Сущность механизма электропроводности. Волновая функция электрона в кристалле. Квазиимпульс и эффективная масса носителей заряда. Статистика электронов и дырок в полупроводнике. Структуры металл-диэлектрик-полупроводник. Энергонезависимые элементы памяти.

курсовая работа , добавлен 14.02.2016


курсовая работа , добавлен 09.06.2015


Особенности определения зонной структуры по заданным направлениям в зоне Брюллюэна. Определение на ней положения примесных акцепторных состояний EA и значений эффективных масс. Составление блока численных значений для основных параметров полупроводников.

контрольная работа , добавлен 23.12.2009


Удельное сопротивление полупроводников. Строение кристаллической решетки кремния. Дефекты точечного типа и дислокации. Носители заряда и их движение в электрическом поле. Энергетические уровни и зоны атома. Распределение носителей в зонах проводимости.

презентация , добавлен 27.11.2015


Описание полупроводников, характеристика их основных свойств. Физические основы электронной проводимости. Строение кристалла кремния. Направленное движение электронов и дырок под действием электрического поля, p-n переход. Устройство транзисторов.

презентация , добавлен 20.04.2016


Определение длины проволоки для намотки резистора. Концентрация электронов и дырок в собственном и примесном полупроводнике. Диффузионная длина движения неравновесных носителей заряда в полупроводниковом материале. Проводимость конденсаторной керамики.

контрольная работа , добавлен 12.11.2013


Эффект Холла и магнетосопротивление в модели Друде. Высокочастотная электропроводность металла. Распределение Ферми-Дирака и его применение. Сравнительный анализ статистики Максвелла-Больцмана и Ферми-Дирака. Недостатки теории свободных электронов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ

1.1. Классификация

Основными признаками классификации разнообразных по прин-ципу действия, назначению, технологии изготовления, свойствам и параметрам можно считать: вид преобразования сигнала; вид рабо-чей среды и тип носителей заряда; структуру (устройство) и число электродов; способ управления.

По виду преобразования сигнала все ЭП можно разбить на две большие группы. К первой группе относятся ЭП, в которых использу-ется преобразование одного вида энергии в другой. В эту группу вхо-дят электросветовые ЭП (преобразование типа электрический сигнал в световой), фотоэлектронные приборы (световой сигнал в электрический), электромеханические (электрический сигнал в ме-ханический), механоэлектрические ЭП (механический сигнал в элек-трический), оптопары (электрический сигнал в световой и затем сно-ва в электрический)и др.

Ко второй группе обычно относятся электропреобразователь-ные приборы, в которых изменяются параметры электрического сиг-нала (например, амплитуда, фаза, частота и др.).

По виду рабочей среды и типу носителей заряда различают сле-дующие классы электронных приборов: электровакуумные (вакуум, электроны), газоразрядные (разреженный газ, электроны и ионы), полупроводниковые (полупроводник, электроны и дырки), хемотронные (жидкость, ионы и электроны).

Электроды электронного прибора – это элементы его конструк-ции, которые служат для формирования рабочего пространства при-бора и связи его с внешними цепями. Число электродов и их потенциалы определяют физические процессы в приборе. Наиболее на-глядно это в электронных лампах: двухэлектродные (диоды), трех-электродные (триоды), четырехэлектродные (тетроды) и пятиэлект-родные (пентоды).
^

1.2. Режимы, характеристики и параметры электронных приборов

Вначале остановимся на понятиях статического и динамическо-го режимов приборов. Статическим называют режим, когда прибор работает при постоянных («статических») напряжениях на электро-дах. В этом режиме токи в цепях электродов не изменяются во вре-мени и распределения зарядов и токов в приборе также постоянны во времени. Другими словами, в статическом режиме все парамет-ры режима не изменяются во времени. Однако, если хотя бы один из параметров режима, например напряжение на каком-то электроде, изменяется во времени, режим называется динамическим.

В динамическом режиме поведение при-бора существенно зависит от скорости или частоты изменения воз-действия (например, напряжения).

У большинства приборов эта зависимость объясняется инерци-онностью физических процессов в приборе, например конечным временем пролета носителей заряда через рабочее пространство или конечным временем жизни носителей. Конечность времени пролета приводит к тому, что мгновенное значение тока электрода, к которому движутся носители, в выбранный момент времени бу-дет определяться не только значением напряжения на электроде в этот момент, но, естественно, и предысторией, т.е. всеми значени-ями напряжения от момента начала движения в приборе до прихо-да носителя заряда к рассматриваемому электроду. Следователь-но, связь мгновенных значений тока и напряжения в динамическом режиме должна отличаться от связи постоянных значений тока и напряжения в статическом режиме. Однако если время пролета значительно меньше периода изменения переменного напряже-ния, то это.отличие во взаимосвязи будет несущественным, т.е. связь мгновенных значений будет практически такой же, как посто-янных величин в статическом режиме. Указанная разновидность динамического режима называется квазистатическим режимом («квази» – означает «как бы» или «как будто»).

Обычно динамический режим получается в результате внешнего воздействия, например входного сигнала. Входной сигнал может быть синусоидальным или импульсным. Малым называют такой сигнал, при котором наблюда-ется линейная связь (прямая пропорциональность) между амплиту-дами выходного и входного сигналов.

^ 1.3. Модели электронных приборов

Как в статическом, так и динамическом режиме анализ основан на использовании системы дифференциальных уравнений, описы-вающих физические процессы: уравнения непрерывности, закон Пу-ассона, уравнения для плотностей токов, кинетическое уравнение Больцмана, учитывающее функцию распределения частиц по коор-динатам и импульсам. Систему этих уравнений принято называть математической моделью приборов.

Для анализа радиоэлектронных схем, содержащих электронные приборы, в большинстве случаев удобнее использовать электриче-ские модели (эквивалентные схемы, схемы замещения), составлен-ные из элементов электрической цепи.

Электрические модели, называемые также эквивалентными схемами, появились на основе анализа математических моделей. Поэтому каждый электрический элемент эквивалентной схемы при-ближенно описывается (представляется) соответствующими математическими выражениями.

Удобство электрических моделей состоит в том, что анализ ди-намических свойств (например, транзистора), особенно при малом сигнале, можно проводить по законам теории электрических цепей.

Эквивалентные схемы для малого сиг-нала обычно называют линейными или малосигнальными, а для большего – нелинейными эквивалентными схемами или нелиней-ными электрическими моделями.
^

ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ

2.1. Концентрация носителей заряда в равновесном состоянии полупроводника

В физике принята классификация твердых тел на металлы, полупроводники и диэлектрики по ширине запрещенной зоны , от значения которой зависят концент-рация свободных носителей, удельное электрическое сопротивление и ток.

Ширина запрещенной зоны при абсолютной температуре Т=300 К у германия 0,66 эВ, кремния 1,12эВ и арсенида галлия 1,4 эВ.

Беспримесный (чистый) полупроводник без дефектов кристаллической структу-ры называют собственным полупроводником и обозначают буквой i. При температуре абсолютного нуля (T=0 К) в таком полупроводнике все энергетические уровни валентной зоны заполнены валентными электронами, а в зоне проводимости нет электронов. По мере увеличения температуры растет энергия колебательного движения атомов кристаллической решетки и увеличивается вероят-ность разрыва ковалентных (парных) связей атомов, приводящего к образованию свободных электронов , энергия которых соответствует уровням зоны проводимости. Отсутствие одного электрона в ковалентной связи двух соседних атомов, или «вакан-сия», эквивалентно образованию единичного положительного заряда, называемого дыркой.

Появление одного свободного электрона сопровождается об-разованием одной дырки. Говорят, что идет образование (генерация) пар электрон – дырка с противоположными знаками заряда.

Если в собственный четырехвалентный кремний (или германий) ввести атом пятивалентного элемента, например фосфора (Р), то че-тыре из пяти валентных электронов введенного атома примеси вступят в связь с че-тырьмя соседними атомами Si (или Ge) и образуют устойчивую оболочку из восьми электронов, а пятый электрон оказывается слабо связанным с ядром атома примеси. Этот «лишний» электрон движется по орбите значительно большего размера и легко (при небольшой затрате энергии) отрывается от примесно-го атома, т.е. становится свободным. При этом неподвижный атом превращается в положительный ион. Свободные электроны «примесного» происхождения добавля-ются к свободным электронам исходного собственного полупроводника, поэтому электрическая проводимость полупроводника при большой концентрации примеси становится преимущественно электронной. Такие примесные полупроводники назы-ваются электронными или п-типа (от слова negative - отрицательный). Примеси, обусловливающие электронную проводимость, называют донорными.

Если в собственный полупроводник, например кремний, ввести примесный атом трехвалентного элемента, например бора (В), галлия (Ga) или алюминия (Аl), то все валентные электроны атома примеси включатся в ковалентные связи с тремя из четырех соседних атомов собственного полупроводника. Для образования устойчивой восьмиэлектронной оболочки (четыре парные связи) примесному атому не хватает одного элек-трона. Им может оказаться один из валентных электронов, который переходит от ближайших атомов кремния. В результате у такого атома кремния появится «вакансия», т.е. дырка, а неподвижный атом примеси превратится в ион с единичным отрицательным зарядом. Примеси, обеспечивающие получение боль-шой концентрации дырок, называют акцепторными («захватывающие» электроны).

Отрыв электрона от донорного атома и валентного электрона от атомов исходно-го (собственного) полупроводника для «передачи» его акцепторному атому требует затраты некоторой энергии, называемой энергией ионизации или активизации при-меси. При температуре абсолютного нуля ионизации нет, но в рабочем диа-пазоне температуры, включающем комнатную температуру, примесные атомы прак-тически полностью ионизированы. Энергия ионизации доноров
и акцепторов
составляет несколько сотых долей электронвольта (эВ), что значительно меньше ши-рины запрещенной зоны . Энергетические уровни электронов донорных атомов («примесные уровни») располагаются в запрещенной зоне вблизи нижней границы («дна») зоны проводимости на расстоянии, равном энергии ионизации . Примесный уровень акцепторов находится в запрещенной зоне на не-большом расстоянии от верхней границы («потолка») валентной зоны.

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы. В примесных полупроводниках они отличаются на много порядков. Носите-ли заряда с большей концентрацией называют основными, а с меньшей – неосновными. В полупроводнике n-типа основные носители – электроны, а в полу-проводнике p-типа – дырки.

Значения концентраций свободных электронов и дырок устанавливаются (состо-яние равновесия) в результате действия двух противоположных процессов: процесса генерации носителей (прямой процесс) и процесса рекомбинации электронов и ды-рок (обратный процесс).

Рекомбинация означает, что свободный электрон восстанавливает ковалентную связь (устраняет вакансию). В состоянии равновесия скорость генерации носителей заряда равна скорости рекомбинации.

^ 2.1.2. Метод расчета концентраций

Концентрация электронов n в зоне проводимости и концентра-ция дырок р в валентной зоне могут быть представлены следующи-ми общими выражениями:

; (2.1)

; (2.2)

В
еличины
и
– плотности квантовых состояний, Функция
в (2.1) есть вероятность того, что состояние с энергией занято электро-ном. Соответственно
означает вероятность отсутствия электрона на уровне в валентной зоне, т.е. вероятность существо-вания дырки.

При квантово-механическом рассмотрении установлено, что

Где h – постоянная Планка; и – эффективные массы электро-нов и дырок.

Вероятностная функция f ( ) в (2.1) и (2.2) определяется по формуле

(2.5)

Которая называется функцией распределения Ферми-Дирака. В этой функции k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, а – энергия уровня Ферми. Очевидно, что при
. Поэ-тому формально уровнем Ферми является уровень, вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5 (рис. 2.2). При Т > 0 К функция имеет плавный, но быстрый спад приблизительно в интер-вале значений энергии ±2 kT около уровня . При комнатной темпе-ратуре (T=300 К) kT = 0,026 эВ, т.е. ±2 kT = ±0,052 эВ, что значитель-но меньше , составляющего единицы электронвольта. Вероят-ность
при
, и
при
.

Функцию распределения необходимо «привязывать» к зон-ной диаграмме полупроводника. Как правило, для этого надо знать, где находится уровень Ферми. У обычно используемых полупровод-ников находится в запрещенной зоне: в n -полупроводнике – на «расстоянии»
>>2kT от дна зоны проводимости, а в р-полупроводнике – на расстоянии
>> 2kT от потолка валентной зо-ны и в формуле (2.5) можно пренебречь в знаменателе единицей, т.е. функция распределения Ферми-Дирака сводится приближенно к функции распределения Максвелла-Больцмана:

(2.6)

Полупроводники, для которых справедлива функция распределе-ния Максвелла- Больцмана, называют невырожденными. Для них характерно то, что число частиц значительно меньше числа разрешен-ных состояний. Если в полупроводнике уровень Ферми дока-зывается в интервале 2 kT вблизи границ зон или внутри этих зон, то следует пользоваться только функцией распределения Ферми-Дира-ка, а состояние полупроводника становится вырожденным.

Формулы (2.7) и (2.8) являются универсальными, так как приме-нимы для расчета концентраций в любых типах полупроводников: собственном (типа i ) и примесных (типов п и р ). Коэффициенты и следует трактовать как эффективное число состояний, располо-женных на границах зон (уровней и , которые только и входят в формулы). Значения и для кремния и германия составляют примерно 10 19 см -3 .

Формулы (2.7) и (2.8) следует также понимать как отражение взаи-мосвязи между концентрацией (числом носителей) и уровнем Ферми. Если известно значение , то можно вычислить концентрации п и р , соответствующие этому значению . Если же известна концентрация п (или р), то можно вычислить соответствующее ей значение . Фор-мула для в этом случае получается из (2.7) или (2.8), но значение в результате расчета, естественно, должно получиться одинаковым:

(2.9)

Одинаковый результат является следствием имеющейся связи между значениями концентраций п и р , т.е. связи между полным чис-лом носителей в зоне проводимости и валентной зоне. Рассмотрим эту связь.

Используя (2.7) и (2.8), найдем произведение концентраций:

Так как ширина запрещенной зоны

(2.10)

Применим (2.10) для собственного (чистого, беспримесного) по-лупроводника, в котором концентрация электронов и дырок одина-кова
. Получим формулу

(2.11)

Которую можно использовать для расчета концентраций носителей в собственном полупроводнике, не зная положения уровня Ферми:

(2.12)

Или преобразования формулы (2.10) до вида

(2.13)

Смысл этого соотношения состоит в том, что увеличение кон-центрации частиц с одним знаком заряда сопровождается уменьше-нием концентрации частиц с другим знаком. Такая зависимость объ-ясняется тем, что при увеличении, например, концентрации элект-ронов п обязательно пропорционально увеличится и вероятность рекомбинации носителей, в результате чего будет пропорциональ-но убывать концентрация дырок р .

Расчет по формуле (2.12) дает следующие значения : для Ge – 2,4 10 13 см -3 ; для Si – 1,45 10 10 см -3 ; для GaAs – 1,79 10 6 см -3 . Пре-вышение ширины запрещенной зоны кремния по сравнению с гер-манием всего в 1,12/0,66=1,7 раза привело к уменьшению концент-рации собственных носителей приблизительно в 10 3 раз.

^ 2.1.3. Условие электрической нейтральности

Это условие требует, чтобы суммарный заряд любого объема собственного и примесного полупроводников был равен нулю:

(2.14)

Для 1 см 3 собственного полупроводника с концентрациями элек-тронов и дырок

,

Где q – абсолютная величина заряда электрона. Это условие нейт-ральности можно переписать в виде

(2.15)

Это соотношение отражает процесс одновременного образова-ния пар электрон –дырка. Естественно, образование таких пар но-сителей с разными знаками зарядов не нарушает нейтральности.

Для объема 1 см 3 полупроводника n -типа

(2.16)

Где
– концентрация положительных донорных ионов (считаем, что все атомы доноров ионизированы, поэтому одновременно есть и концентрация вводимых нейтральных донорных атомов); ин-декс п

Аналогично для р -полупроводника условие (2.14)

(2.17)

Где
– концентрация отрицательных акцепторных ионов, а индекс р указывает на тип полупроводника.

^ 2.1.4. Концентрация основных и неосновных носителей в примесных полупроводниках

Эти величины, как уже отмечалось, могут быть легко опреде-лены в результате совместного решения уравнений (2.13) и (2.16) или (2.17).

Для n -полупроводника, решив совместно уравнения (2.13) и (2.16), получим

(2.18)

В n -полупроводнике концентрация доноров на несколько поряд-ков больше (>>), поэтому вместо (2.18) можно записать

(2.19)

В n -полупроводнике электроны являются основными носителя-ми, а дырки неосновными, так как >>

Пример. Концентрация доноров в германии = 10 16 см -3 , = 2,4 10 13 см -3 . Концентрация электронов (основных носителей) по формуле (2.19) составит == 10 16 см -3 , концентрация дырок (неосновных носителей) = 5,76·10 26 /10 10 = 5,76·10 10 см -3 .

Аналогично для р -полупроводника из уравнений (2.13) и (2.17) получим

(2.20)

При выполнении условия >>

(2.21)

Где - концентрация основных носителей, a - неосновных носи-телей (>>).

Результаты (2.19) и (2.21) следовало ожидать, так как при ра-бочих температурах практически все примесные атомы ионизиро-ваны. Но тогда и концентрации неосновных носителей и мож-но найти из точных формул (2.18) и (2.20), подставив в них
и
, т.е.

(2.22)

На основании формул (2.22) можно сделать важный вывод, что концентрация неосновных носителей очень сильно зависит от ве-щества. Так как для Si = 1,45·10 10 см -3 , а для Ge = 2,4·10 13 см -3 , то концентрация неосновных носителей, пропорциональная , у Ge будет в (2,4·10 13 /1,45·10 10) 2 3·10 6 раз выше, чем у кремния. Это объясняется различием в ширине запрещенной зоны. Кроме того, концентрации неосновных носителей сильно зависят от температуры, так как от нее по формуле (2.12) экспоненциально зависит .

П
ри некоторой температуре концентрация , сравнивается с концентрацией доноров в n -полупроводнике. Назовем эту тем-пературу максимальной (T m ах ). При Т> T m ах >, т.е. концентра-ция электронов будет определять-ся не примесью, и поэтому теряет смысл термин «основные носители». В результате генерации пар носителей концентрации электро-нов и дырок оказываются одинако-выми, как в собственном полупро-воднике, и с ростом температуры увеличиваются по экспоненциальному закону. Аналогичный процесс происходит при росте темпера-туры в р -полупроводнике.

На рис. 2.3 показана температурная зависимость концентрации электронов в кремнии n -типа. Существует подъем кривой на началь-ном участке от T=0 К до некоторой температуры, при которой закон-чится ионизация доноров. Затем в довольно широком диапазоне температур (включающем комнатную) концентрация равна концент-рации примеси, т.е. электроны являются основными носителями. При высоких температурах (Т > T m ах ) концентрация определяется генерацией пар носителей, т.е. величиной , экспоненциально рас-тущей с повышением температуры.

^ 2.1.5. Положение уровня Ферми в полупроводниках

В собственном полупро-воднике n = р = , поэтому энергия уровня Ферми в нем из

(2.23)

Подставляя в (2.23) из (2.12) и учитывая, что

(2.24)

Таким образом, в собственном полупроводнике уровень Ферми практически на-ходится в середине запрещенной зоны.

Уровень Ферми в n-полупроводнике определяется при

(2.26)

Умножая числитель и знаменатель второго слагаемого на и используя форму-лу (2.23), получаем

(2.27)

Значения концентрации приме-си, при которой положение уровня совпадает с границей зон, называют критическим (
).

^ 2.1.6. Распределение носителей заряда по энергии

Перемножив значения и f ( ε ), получим распределение носителей по энергии в зоне про-водимости (рис. 2.5,в). Что каса-ется валентной зоны, то в соот-ветствии с выражением (2.2) надо умножать на . Все распределения имеют максимум, а затем быстро спадают.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 60 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том 73 УДК: МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО КРЕМНИЯ (Обзор) С. П. Кобелева 1 Статья поступила 26 июля 2006 г. Обсуждаются методы измерения удельного электрического сопротивления и времени жизни неравновесных носителей заряда в монокристаллическом кремнии с точки зрения выполнения требований стандартов ASTM, принятых за основу в SEMI. Рассмотрены работы, направленные на расширение области применения этих стандартов и на повышение точности используемых методик. Монокристаллический кремний является основным материалом микроэлектроники. Электрофизическими параметрами, контролируемыми при выращивании слитков и при изготовлении из них пластин для нужд микроэлектроники, являются удельное электрическое сопротивление (ρ) и время жизни неравновесных носителей заряда (τ). Оба параметра определяют марку материала. Измерение этих параметров является необходимым элементом технологического и выходного контроля качества пластин и слитков, входного контроля качества пластин при производстве полупроводниковых приборов и микросхем и частью технологического контроля при изготовлении эпитаксиальных и диффузионных слоев для производства полупроводниковых приборов и интегральных схем. Глобализация экономики привела к необходимости создания международной системы стандартов, регулирующих методы измерения. В полупроводниковой отрасли координацию деятельности по созданию такой системы проводит Международная организация производителей и потребителей полупроводниковой продукции SEMI (Semiconductor Equipment and Materials International). В области стандартизации методик измерений этой организацией принята система стандартов США ASTM (American Society for Testing and Materials), как наиболее полная из государственных систем стандартов. Целью данной статьи является обзор методик измерения ρ и τ, включенных в систему стандартов ASTM, и работ, направленных на расширение области применения методик или повышение точности оценок параметров полупроводникового кремния. 1 Московский государственный институт стали и сплавов, Москва, Россия. Четырехзондовый метод измерения ρ с линейным расположением зондов Существует довольно много вариантов измерения ρ в полупроводниках . Их можно разделить на контактные и бесконтактные. К середине 90-х годов прошлого столетия выделились 4 метода, в основном используемые в производственных целях . Именно они включены в систему международных стандартов методов измерений. Это контактные методы двухзондовый метод измерения для контроля объемных материалов (используется на этапе контроля качества поликристаллического кремния), четырехзондовый метод (контроль качества объемных материалов, пластин и слоев с p/n-переходами), измерение сопротивления растекания (контроль распределения примеси в диффузионных и эпитаксиальных слоях) и бесконтактный метод вихревых токов. Четырехзондовый метод признан арбитражным. В данном методе для определения удельного электрического сопротивления используют четырехзондовое устройство с линейным расположением зондов. Постоянный ток пропускают через образец между внешними зондами и измеряют возникающую разность потенциалов между внутренними зондами. Удельное электрическое сопротивление вычисляется из измеренных значений разности потенциалов и тока с применением поправочных коэффициентов на геометрию образца. Теория метода хорошо разработана . В отечественном стандарте определены общие требования к установкам для измерения этим методом монокристаллических слитков германия и кремния, приведены температурные поправки, которые позволяют проводить измерения в центре слитков в интервале 23 ± 5 С, в стандарте требования для измерения монокристаллических слитков кремния при фикси-

2 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том рованной температуре 23 ± 2 С и рекомендации по определению разброса ρ по торцу слитка. В системе стандартов ASTM требования к оборудованию и методикам измерения и расчета ρ четырехзондовым методом изложены в 5 стандартах. В описаны общие требования к оборудованию для двух- и четырехзондовых методов измерения ρ германия и кремния, в изложены требования к оборудованию, подготовке образцов для измерения, методикам расчета ρ круглых кремниевых пластин толщиной до одного межзондового расстояния, т. е. примерно до полутора миллиметров. Диаметр пластин D должен более чем в десять раз превышать среднее межзондовое расстояние s, а разброс значений толщины 0,55 % от диаметра пластины. В изложены рекомендации по определению распределения ρ по диаметру пластин монокристаллического кремния, толщина которых меньше половины среднего межзондового расстояния, а диаметр D составляет не менее 15 мм (0,6 дюйма). В описаны методики калибровки и поверки измерительной аппаратуры с использованием стандартных образцов, в требования к аппаратуре и методики расчета поверхностного сопротивления эпитаксиальных, диффузионных и ионно-имплантированных слоев. Наиболее общие требования к измерительной аппаратуре: затемнение, если не доказано, что освещение не влияет на результаты измерений; экранировка, если оборудование расположено вблизи высокочастотных генераторов; минимизация токов для исключения инжекции носителей через контакт и возникновения термоэдс; расчет ρ по среднему сопротивлению R при двух полярностях тока; обязательный учет поправок на температуру, если образец не термостабилизирован. Эти поправки справедливы, если температура образца во время измерений поддерживается постоянной в пределах С. Поскольку формулы расчета величины ρ зависят от размеров образца, в стандартах очень четко регламентированы различные поправки для точных расчетов. Расчет проводится, согласно рекомендациям , по обобщенной формуле ρ= F(D s) F(d s) F(t) R, (1) где F(D/s) поправочный коэффициент на диаметр образца; F(d/s) коэффициент, зависящий от толщины образца; F(t) поправочный коэффициент на температуру образца; d толщина пластины. В соответствии с рекомендациями для d/s > 2,5 F(D/S) = 1. В остальных случаях для центра образца () F D s = ln 2 + ln ln 2 (Ds) (Ds) F(d/s) зависит от толщины образца: ds< 0,1 Fds=πd ln 2, при () 2 2 ; при ds Fds () sf (ds) k1 (2) 0,1 < 4 = 2 π, (3) ds> 4 Fds= 2π s(формула стандартов ). при () Поправочный множитель F k1 (d/s) рассчитывается по формуле Fk1 (d s) = nd nd s s s 45 s 315 s + +, (4) 4 nd 64 nd 512 nd первое суммирование ведется по n от 1 до M, где М целая часть (2s/d) + 1, второе суммирование от М + 1 до N, где N наименьшее значение n, для которого второе слагаемое меньше Поправочный коэффициент на температуру образца () C (t) F t = 1 23, (5) где t температура образца в градусах по шкале Цельсия; C t температурный коэффициент, заданный в виде графика , в виде таблицы , рассчитывается по формуле . На рис. 1 приведены зависимости от ρ коэффициента C t стандартов ASTM и ГОСТ. Зависимости в ГОСТе грубо округлены. Различие величин, установленных в ГОСТ и ASTM, достигает 30 %. Однородное распределение ρ по пластине является важным параметром качества. Стандарты ASTM не регламентируют величину разброса, оставляя это на усмотрение поставщиков и потребителей. Достаточно сказать, что для современных субмикронных технологий требуются пластины большого диаметра (от 200 мм и выше) с разбросом ρ до 1 %. Это накладывает серьезные требования и к аппаратуре, и к методикам расчета ρ на различном расстоянии от центра пластин. Поэтому в стандарте для измерения распределения ρ по диаметру t

3 62 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том 73 С t, 1/ C 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 АSTM ASTM F-84 (n-тип) АSTM ASTM F-84 (p-тип) ГОСТ24392 (n-тип) ГОСТ (p-тип) 0,0001 0,001 0,01 0, ρ, Ом см Рис. 1. Зависимость температурного коэффициента С t от удельного электросопротивления ρ F (D /s) 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0, r, мм Рис. 2. Поправка F(D/s) в зависимости от положения измерительной головки на пластине: 1 4 D = 40, 60, 100, 150 мм соответственно введена поправка F(D/s), зависящая и от расстояния точки измерения до центра пластины. Поправка задается таблично. На рис. 2 приведена поправка для пластин с d = 300 мкм, s = 1,3 мм диаметрами 40, 60, 100 и 150 мм. Толщина пластины не влияет на величину поправки (на рис. 2 для диаметра 40 мм приведены расчеты для d = 300 и 600 мкм). Видно, что на расстоянии 5 мм от края пластины систематическая погрешность расчета достигает 5 %, если поправку не учитывать. Четырехзондовый метод можно считать самым регламентированным и самым точным, поэтому только он рекомендован как арбитражный, а также для определения марки кремния при продаже материала. Проведенные межлабораторные сличения показали, что среднеквадратичное отклонение (СКО) измеренных величин ρ в доверительном интервале 0,95 % не превышает 1,7 %. Четырехзондовый метод можно использовать и для определения распределения ρ вдоль образующей слитков 3 4 монокристаллического кремния, при этом необходимо учитывать поправки на концах слитков . Метод считается неразрушающим, так как не требует специальной подготовки, кроме шлифовки и очистки поверхности от загрязнений, нарушенного слоя и поверхностного оксида, что можно считать рутинной производственной процедурой. Однако при измерении тонких слоев в местах прижимов зондов образуются локальные разрушения, препятствующие созданию приборов в этих областях. Поэтому неразрушающим метод можно считать только в случае оценки качества объемных материалов. При измерении удельного или поверхностного сопротивления пластин с p/n-переходами погрешность метода увеличивается. Так, величины СКО при межлабораторных сличениях достигают 30 % . Локальность метода определяется межзондовым расстоянием и составляет миллиметры по поверхности и по глубине, его можно использовать для измерения профиля распределения примеси в диффузионных и эпитаксиальных слоях, если применять послойное шлифование или измерения проводить на косом шлифе. Однако применять его целесообразно только для структур с глубокими p/n-переходами. Метод сопротивления растекания Переход на субмикронные и наноразмерные технологии вызвал необходимость применения локальных по глубине и поверхности пластин методов измерения ρ. Таким методом, в настоящее время динамично развивающимся, является метод измерения сопротивления растекания (СР). Он основан на измерении сопротивления структуры, состоящей из полупроводникового образца и металлического зонда, установленного на его плоской поверхности . Через измерительный зонд пропускается ток I и на нем же определяется потенциал U по отношению к удаленному контакту, сопротивлением которого пренебрегают. Расчеты показывают, что в идеальном случае в полубесконечном образце R = U/I = ρ/(4r 0), где r 0 радиус закругления точечного контакта. Область, в которой анализируется удельное сопротивление, имеет размеры порядка удвоенного радиуса контактной площадки зонда и может быть доведена до нанометровых размеров. Поэтому в настоящее время приставки СР устанавливаются в атомно-силовых и туннельных микроскопах. Однако в реальности величина удельного электрического сопротивления в этом методе рассчитывается с учетом поправочного коэффициента, который зависит от множества факторов. Имеется 3 стандарта ASTM, регламентирующие применение этого метода . В

4 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том приведены общие требования к измерительной аппаратуре для измерения объемных материалов, в требования к аппаратуре и процедуре измерения распределения СР по косому шлифу, в к подготовке косых шлифов для измерений СР. Величины поправок не обсуждаются, так как они зависят от размеров и качества контактной площадки зондов, силы прижима, скорости опускания зондов, типа электропроводности и величины измеряемого удельного сопротивления. Нет данных по межлабораторным сличениям. Приведенные в результаты измерения СР различными лабораториями (данные по расчетам ρ не приведены) имеют большой разброс (СКО до 30 %), что свидетельствует о необходимости совершенствования как аппаратурной части, так и методов калибровки и расчета ρ. В работе описаны результаты межлабораторных сличений измерений СР 22 ионно-имплантированных образцов, профили распределения которых контролировали методом вторично-ионной массспектрометрии. Измерения проводили в 21 лаборатории. Результаты этой работы показали необходимость развития в первую очередь прикладных программ расчетов профилей распределения ρ и на их основе определения концентрации мелких примесей N, поскольку в ряде случаев, особенно для субмикронных слоев, стандартные формулы перевода удельного сопротивления в концентрацию в этом методе неприменимы. В основе расчета распределения ρ по глубине неоднородного образца по результатам измерения СР лежит модель Шумана . Основные направления совершенствования модели расчетов связаны с учетом деформации кремния в области контакта , неидеальности точечного контакта , уменьшения подвижности свободных носителей заряда (µ) за счет деформации , а также с учетом поверхностных состояний на косом шлифе и на границах раздела структур . Необходимым элементом современных моделей является учет эффекта спиллинга изменения распределения концентрации свободных носителей за счет диффузии в области больших градиентов концентрации примеси . Этот эффект приводит к тому, что возникают локальные электрические поля, концентрации легирующей примеси и свободных носителей заряда не совпадают и нельзя пользоваться рекомендациями стандарта для пересчета ρ в N. Активно развивается нано-ср . В работе предложена аппаратура, которая позволяет измерять концентрации примесей в широком динамическом интервале см 3 с пространственным разрешением 10 нм и высокой чувствительностью. Обсуждается возможность субдесятинанометрового разрешения , построения двумерных профилей распределения примеси . C помощью низкотемпературных и высокотемпературных измерений СР предлагается оценивать глубину залегания примеси в запрещенной зоне полупроводника, т. е. заменить этими измерениями метод емкостной спектроскопии глубоких уровней. Метод вихревых токов Описанные выше методы обладают большим недостатком по существу, являются разрушающими, имеют недолгий срок работы зондов, они очень чувствительны к обработке поверхности перед измерениями, к материалу и геометрии зонда и силе прижима зонда к поверхности. Этих недостатков лишены высокочастотные бесконтактные методы измерения ρ. Стандартом рекомендован метод вихревых токов, основанный на индуктивной связи образца с измерителем. Диапазоны измеряемых значений ρ от 0,001 до 200 Ом см, толщины пластин от 0,1 до 1 мм. Эти диапазоны могут быть сужены, так как не при всех сочетания толщины и ρ можно проводить измерения. Частота генератора должна обеспечивать глубину проникновения ВЧ поля, по крайней мере, в 5 раз больше толщины образца. В этом методе образец определенной геометрической формы помещается между катушками индуктивности, при этом изменяется добротность ВЧ контура. Необходимо, чтобы выходной сигнал (в стандарте предполагается, что это ток ВЧ генератора, который поддерживает фиксированное значение выбранного контролируемого параметра) был пропорционален проводимости образца. Расчет ρ проводят по калибровочным кривым. В стандарте приведены результаты межлабораторных сличений. Величина СКО составила для интервала 0, Ом см ±9 %, 0, Ом см ±15 %, Ом см ±18 %. Как видно из результатов, точность метода значительно ниже, чем у четырехзондового, но он незаменим для использования в различного рода автоматических сортерах как пластин и эпитаксиальных слоев, так и структур типа кремний-на-изоляторе, для отбраковки скраба при производстве монокристаллического кремния и других подобных технических задач. Методы измерения времени жизни неосновных носителей заряда К настоящему времени разработано и исследовано значительное число методов измерения времени жизни неравновесных носителей заряда , что объясняется несколькими причинами. Влияние времени жизни на формирование параметров

5 64 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том 73 приборов весьма разнообразно, уменьшение его величины повышает быстродействие диодов, а для повышения эффективности работы фотоприемников и солнечных батарей требуются иногда предельно высокие значения τ. Освоение технологии какой-либо новой полупроводниковой структуры часто приводило к разработке специального для данной структуры метода оценки τ в исходном материале. Однако по мере совершенствования технологии производства приборного кремния, а также уменьшения числа типов структур резко сократилась разработка новых методов измерения τ. Все методы можно разделить на 3 основные группы: модуляции проводимости за счет подсветки (фотопроводимость) или инжекции носителей через контакт; измерения параметров приборных структур; использование других физических эффектов, параметры которых зависят от τ. При выборе метода измерения времени жизни немаловажным фактором является сравнительная сложность аппаратуры и ее стоимость. Для монокристаллического кремния в основном используются методы, относящиеся к первой группе. Она, в свою очередь, подразделяется на две стационарные и нестационарные методы. К стационарным относятся все методы измерения диффузионной длины L и несколько вариантов измерения стационарной фотопроводимости, в том числе спектральной зависимости фотопроводимости. Поскольку сигнал фотопроводимости слаб, используют методы модуляции проводимости с разной формой засвечивающих импульсов и различные формы детектирования переменных сигналов, что и порождает разнообразие конкретных аппаратурных исполнений метода. К нестационарным относят измерение спада фотопроводимости контактными и бесконтактным СВЧ методами; фазовый и частотный методы; измерение спада сигнала ИК-поглощения; метод модуляции проводимости в точечном контакте. В настоящее время промышленно изготавливается оборудование для использования в производственных целях на основе четырех основных методик : два метода позволяют измерять диффузионную длину методы поверхностной фотоэ.д.с. (ПФЭ) и обратного фототока (ОФТ), два метода основаны на измерении спада фотопроводимости контактный и бесконтактный (СВЧ). Эти методы, кроме ОФТ, включены в систему стандартов ASTM. Для монокристаллического кремния в диапазоне от 0,1 до 500 Ом см в соответствии с ГОСТ τ в слитках измеряют методом модуляции проводимости в точечном контакте (метод Шпицера) . На основе компьютерного моделирования основных методов измерения τ в приборных полупроводниковых структурах с р/n-переходом в работе было показано, что не существует экспериментального метода, позволяющего адекватно определить τ в приборных структурах. В аналогичном исследовании по моделированию метода Шпицера с использованием параметров измерительной аппаратуры, удовлетворяющих требованиям ГОСТа , было получено, что погрешность определения τ данным методом может превосходить 50 %. Был сделан вывод, что метод Шпицера можно оценить как чисто качественный, предназначенный для сравнения однотипных образцов. Для измерений τ методом затухания фотопроводимости рекомендуется использовать образцы в виде бруска стандартных размеров. На торцах бруска изготавливают омические контакты. Значение τ находится из анализа записи сигнала спада фотопроводимости U ф (t): U ф () t I I Iρ = = = σ σ + σ +σ σ () () () 0 t t 1 t 0 0, (6) где I интенсивность светового потока; σ(t) фотопроводимость образца; ρ 0 и σ 0 равновесные удельное сопротивление и электропроводность образца. Если σ(t)/σ 0 <<1, то () t (σ() t σ) 2 0 σ Uф () t I ρ σ0 2 (7) Стандарт ограничивает область применения данного метода только низкими уровнями инжекции (σ(t)/σ 0 < 0,1). В этом случае в (7) можно ограничиться первыми двумя членами и U ф () t () t σ t ~ ~exp. σ τ 0 (8) Для 0,1 < σ(t)/σ 0 < 1 в стандарте вводится поправка, рассчитанная на основе учета следующих членов разложения (7). Для всех методов измерения времени жизни наиболее существенной является задача оценки влияния поверхностной рекомбинации на результат измерений. Экспериментами установлено, что скорость рекомбинации на поверхности S зависит от ее физического состояния. Эффективное время жизни носителей заряда τ эф, которое и определяется экспериментально в нестационарных методах, можно оценить по формуле 1 1 τ эф = + τ τ п 1, (9)

6 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том где τ п время жизни вследствие рекомбинации на поверхности. Если исследуемый образец имеет конечные размеры и идет рекомбинация на поверхности, то спад фотопроводимости не может характеризоваться только одной постоянной времени экспоненциального затухания. На релаксационной кривой появляются короткоживущие составляющие. Их количество и вид определяются конкретными характеристиками исследуемого образца. В стандарте специально оговаривается, что поверхность образца должна быть шероховатая, т. е. иметь максимальную скорость рекомбинации. В случае бесконечной скорости поверхностной рекомбинации максимальная величина τ п известна и составляет d 2 /πd . На основании этого в стандарте рассчитаны поправки, которые позволяют определить объемное время жизни более точно. Ниже приведены рекомендованные размеры образцов прямоугольной формы для измерения τ по спаду фотопроводимости контактным методом и максимальные значения времени жизни, которые могут быть измерены на данных образцах: Длина, Ширина, Толщина, τ, мкс, τ, мкс, мм мм мм p-si n-si 15 2,5 2, В предусматривается засветка либо редкими мощными и короткими импульсами (метод А), либо периодически следующими более длительными импульсами (метод В). В первом случае объектами изучения являются образцы с большими значениями объемного времени жизни (>100 мкс), мощные короткие импульсы обеспечивают первоначальное распределение неравновесных носителей заряда без влияния поверхностной рекомбинации. Для варианта А приведена величина СКО ±135 %, полученная в результате межлабораторных сличений. Кремниевые пластины перед решающими операциями диффузии или ионной имплантации полируются и окисляются. Для измерения времени жизни на таких пластинах рекомендуется бесконтактный СВЧ метод . Он предусматривает генерацию избыточных носителей заряда световыми импульсами и наблюдение за процессом спада фотопроводимости по отражению от образца (пластины) электромагнитной волны в диапазоне СВЧ. В стандарте указывается, что метод применяется только для пластин с пассивированной поверхностью. Для засветки рекомендуется использовать мощные импульсные источники, в частности полупроводниковый лазер. Мощный короткий импульс, как и в предыдущем методе, необходим для создания наиболее однородного первоначального распределения неравновесных носителей заряда. Локализация засветки в пределах небольшой площадки (до 1 1 мм 2) позволяет получать пространственное распределение значений времени жизни в пластине, что невозможно в других методах. В стандарте в СВЧ приемо-передающей системе рекомендуется использовать рабочую частоту 10 ГГц (λ = 3 см). Предлагается использовать данный метод с существенными ограничениями, не являющимися неизбежными по существу дела, а лишь упрощающими интерпретацию результатов измерений: только для пластин (легко соблюдается условие однородной генерации по толщине); для большой области засветки, хотя это в явном виде и не указывается, чтобы на результаты не влияла боковая диффузия; только для пассивированных поверхностей (условие является, по существу, следствием первого, так как поверхностная рекомбинация при больших временах жизни делает невозможным измерение тонких пластин); использование импульсных источников (необходимо для уменьшения влияния поверхностной рекомбинации на результаты, что с учетом третьего ограничения представляется несущественным); обработке подлежит только вторая половина кривой спада фотопроводимости (уменьшается влияние высших гармоник, связанных с поверхностной рекомбинацией, и переходных процессов в СВЧ контуре, возникающих при выключении засветки). В отсутствие заметной поверхностной рекомбинации тангенс угла наклона логарифма сигнала спада во второй половине релаксационной кривой дает искомую величину объемного времени жизни. Можно отметить несколько неоспоримых преимуществ СВЧ метода. Это единственный метод полностью неразрушающего контроля образцов, которые могут направляться на дальнейшие технологические операции без сложной очистки. Четкая локализация поля СВЧ и засвечивающего импульса позволяет осуществить сканирование и получить пространственное распределение параметров рекомбинационных процессов в образце (пластине). Получение результатов измерений практически мгновенное. Возможно измерение образцов любой формы, в том числе и слитков. Влияние поверхностной рекомбинации на толстых образцах минимально, что облегчает интерпретацию результатов измерений.

7 66 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том 73 Основной недостаток метода необходимость пассивации поверхности образца для исключения заметного влияния рекомбинации на результат измерения, особенно для измерения пластин. Официально признается стандартом ASTM его применение только для полированных и пассивированных пластин кремния. Допускается использование метода для образцов иной формы, в том числе слитков, но процедуры измерений не регламентируются. Рекомендуется ориентироваться при этом на критерии воспроизводимости результатов измерений и их согласованность с интересами поставщика и покупателя материала. Разработке методик расчета объемного времени жизни и скорости поверхностной рекомбинации на непассивированных образцах посвящено в последние годы много работ, см., например, . Поверхностная рекомбинация формально не влияет на результаты измерения диффузионной длины неосновных носителей заряда по значению стационарной поверхностной фотоэ.д.с. На освещенной поверхности полупроводника, толщина которого заметно больше L, избыточная концентрация неравновесных носителей заряда n(0) определяется выражением (0) Iαλτ () L (L+ Sτ) (α(λ) L+ 1) n = = = Iτ L (L+ Sτ)(L+ 1 α(λ)), (10) где α(λ) коэффициент поглощения на длине волны λ. Если в приповерхностной области имеется встроенное электрическое поле, избыточные носители заряда этим полем разделяются, и возникает поверхностная э.д.с. Разность потенциалов объема и поверхности будет максимальна, если за счет встроенного поля возникает обедненная область или инверсный слой. При низком уровне инжекции n(0) связана с поверхностным потенциалом U(0) выражением eδu eδu n(0) ~ exp ~, kt kt (11) где δu потенциал поверхности по отношению к объему, появившийся за счет освещения; е заряд электрона; k константа Больцмана; T температура образца. Согласно (10, 11), 1/δU = 0, если 1/α = L, поэтому в первом варианте измерений экстраполяция зависимости 1/δU от 1/α к нулю позволяет определить L. Принципиальным условием в этом случае является поддержание постоянной интенсивности засветки (I = const). Зная коэффициент диффузии D, можно рассчитать τ (L = Dτ). Поверхностная рекомбинации формально не влияет на результаты измерений, если S не меняется в процессе измерения. Это гарантированно реализуется при постоянной величине n(0). В погрешность измерения δu может вносить вклад э.д.с. Дембера (возникновение положительного заряда на поверхности за счет большей подвижности у избыточных электронов). Эффект Дембера пропорционален избыточной концентрации, и его влияние можно также снизить, проводя измерения при постоянной n(0) на поверхности. Для этого реализуется второй вариант измерений величина δu поддерживается постоянной при различных коэффициентах поглощения и строится зависимость интенсивности засветки от обратного коэффициента поглощения. Экстраполяция к нулю зависимости I(1/α) и в этом случае дает величину L. Существенным ограничением метода поверхностной фотоэ.д.с. является достаточно узкий интервал удельного сопротивления материала (0,1 < ρ < 50 Ом см), его практическая реализация требует решения ряда технических задач: 1. Требуется источник света с монохроматическим излучением и возможностью перестройки длины волны. Степень монохроматичности должна быть достаточно высокая, так как коэффициент поглощения излучения очень сильно зависит от длины волны. 2. Вся поверхность образца должна засвечиваться однородно во избежание влияния боковой диффузии на результаты измерения. 3. Необходимо поддержание неизменной интенсивности засветки при смене длины волны источника. 4. Поскольку источников погрешностей в методе достаточно много и большинство из них влияет на линейность анализируемой зависимости, стандарт требует измерения для 4 6 значений α, что существенно усложняет аппаратуру и сам процесс измерения. Данный метод измерения диффузионной длины считается неразрушающим. Однако в ряде случаев сигнал столь слаб, что приходится подвергать исследуемый образец специальной обработке для повышения достоверности измерений. Кроме того, метод дает правдоподобные результаты лишь в том случае, когда приповерхностный (освещаемый) слой кремния свободен от механических повреждений. Поэтому рекомендуется исследуемый образец подвергать химической полировке.

8 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» Том В системе отечественных технических регламентов (ГОСТ, ОСТ, ТУ) методики измерения изложены в приложениях к техническим условиям на полупроводниковую продукцию (исключение составляет ГОСТ ), что резко отличает ее от международной. В е годы в СССР на монокристаллический кремний были разработаны 2 ГОСТа, 1 ОСТ и 14 ТУ, и только 4 из последних продлены в настоящее время. Действие этих методик ограничено не только уровнем отраслевых документов, но и тем, что в них часто указан конкретный прибор и инструкция по его эксплуатации. Выполнение закона РФ О единстве средств измерений требует создания современной метрологической документации для полупроводниковой отрасли, в основу которой могут быть положены стандарты SEMI, тем более что интеграция России в мировую систему производства и потребления полупроводниковой продукции требует обязательной гармонизации отечественных и международных стандартов. ЛИТЕРАТУРА 1. Runyanan W.R., Shaffner T.J. Semiconductor measurements & instrumentation. N.Y.: McGraw-Hill, p. 2. Павлов Л.П. Методы измерения параметров полупроводниковых материалов. М.: Высшая школа, с. 3. Батавин В.В., Концевой Ю.А., Федорович Ю.В. Исследование параметров полупроводниковых материалов и структур. М.: Радио и связь, с. 4. Ковтонюк Н.Ф., Концевой Ю.А. Измерение параметров полупроводниковых материалов. М.: Металлургия, с. 5. ГОСТ Кремний и германий монокристаллические. Измерение удельного электрического сопротивления четырехзондовым методом. М.: Изд-во стандартов, с. 6. ГОСТ Кремний монокристаллический в слитках. М.: Изд-во стандартов, с. 7. ASTM F-43. Test Methods for Resistivity of Semiconductor Materials. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F. Test Methods for Measuring Resistivity of Silicon Wafers with an In-Line Four-Point Probe. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F-81. Method for Measuring Radial Resistivity Variation on Silicon Slices. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F Guide for Application of Silicon Standard Reference Materials and Reference Wafers for Calibration and Control of Instruments for Measuring Resistivity of Silicon. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F-374. Test Method for Sheet Resistance of Silicon Epitaxial, Diffused, Polysilicon, and Ion- Implanted Layers Using an In-Line Four-Point Probe. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F-525. Method for Measuring Resistivity of Silicon Wafers Using a Spreading Resistance Probe. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F-672. Test Method for Measuring Resistivity Profiles Perpendicular to the Surface of a Silicon Wafer Using a Spreading Resistance Probe. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F-674. Practice for Preparing Silicon for Spreading Resistance Measurements. Annual Book of ASTM Standard. V Clarysse T., Vandervorst W. / J. Vac. Sci. Technol V. 16(1). Р ASTM F-723. Practice for Conversion Between Resistivity and Dopant Density for Boron-Doped and Phosphorus- Doped Silicon. Annual Book of ASTM Standard. V Schumann P.A., Gardner E.E. / J. Electrochem. Soc.: Solid State Science V Р Clarysse T., Vandervorst W., Pawlik M. / J. Vac. Sci. Technol V. 14(1). P Clarysse T., Vandervost W. / J. Vac. Sci. Technol V. 18(1). P Hartford E.J., Ramey S.M., Ye C.W. et al. / J. Vac. Sci. Technol V. 18(1). P Clarysse T., Eyben P., Hantschel T., Vandervorst W. / Materials Science in Semiconductor Processing V. 4. P Masaya Ichimira, Shinya Ito, Eisuke Arai / Solid-State Electronics V. 46. P De Wolf P., Clarysse T., Vandervost W. et al. / J. Vac. Sci. Technol V. 14(1). P Privitera V., Saggio M.G. / J. Vac. Sci. Technol V. 14(1). P Voss S., Bracht H., Stolwijk N.A. / Phisika V P Voss S., Bracht H., Stolwijk N.A. / Materials Science in Semiconductor Processing V. 4. P ASTM F-673. Test Method for Measuring Resistivity of Semiconductor Slices or Sheet Resistance of Semiconductor Films with a Noncontact Eddy-Current Gage. Annual Book of ASTM Standard. V Мнацаканов Т.Т., Ростовцев И.Л., Филатов И.Н. Новые силовые полупроводниковые приборы и технология их изготовления / Под ред. А. Н. Думаневича. М.: ВЭИ, С Горюнов Н.Н., Клебанов М.П., Кобелева С.П. и др. / Тезисы Второй Российской школы ученых и молодых специалистов по материаловедению и технологиям получения легированных кристаллов кремния. М.: МИСиС, С ASTM F-28. Test Methods for the Minority-Carrier Lifetime in Bulk Germanium and Silicon by Measurement of Photoconductivity Decay. Annual Book of ASTM Standard. V ASTM F Test Method for Carrier Recombination Lifetime in Silicon Wafers by Noncontact Measurement of Photoconductivity Decay by Microwave Reflectance. Annual Book of ASTM Standard. V Горюнов Н.Н., Калинин В.В., Слесарев В.Н. и др. / Заводская лаборатория. Диагностика материалов Т С Brody J., Rohatgi A., Ristow A. / Solar Energy Materials & Solar cells V. 77. P Бородовский П.А., Булдыгин А.Ф., Токарев А.С. / Физика и техника полупроводников Т. 38. Вып. 9. С Кобелева С.П., Юрчук С.Ю., Ярынчак М.В. и др. / Известия вузов. Материалы электронной техники С.17 20/ 36. ASTM F-391. Test Methods for Minority-Carrier Diffusion Length in Extrinsic Semiconductors by Measurement of Steady-State Surface Photovoltage. Annual Book of ASTM Standard. V

Методы измерения удельного сопротивления полупроводников Содержание 1. Полупроводники 2. Методы измерения удельного сопротивления полупроводников 3. Четырехзондовый метод измерения 4. Погрешности четырехзондового

Чины и оценку его отклонения от истинного значения, т. е. погрешность измерения. Принцип измерения совокупность физических явлений, на которых основано данное измерение. Средство измерения техническое

Работа 42 Исследование характеристик фоторезистора Цель работы Ознакомиться с принципом действия фоторезистора и исследовать его вольт-амперные, световые и спектральную характеристики, оценить ширину запрещенной

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Радиофизический факультет Кафедра электроники Отчет по лабораторной работе: ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ И ДИФФУЗИОННОЙ ДЛИНЫ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ

ЗИНКИН С.Д. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА НЕСТАЦИОНАРНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ ГЛУБОКИХ УРОВНЕЙ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ НА УСТАНОВКЕ DLS-83D Аннотация. В статье описывается метод нестационарной спектроскопии глубоких уровней. Представлены

Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 202 ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА ЦЕЛЬ РАБОТЫ Определение температурного коэффициента сопротивления

Олимпиада для студентов и выпускников вузов 03 г. Направление «Электроника и телекоммуникация» Профили: «Инжиниринг в электронике» «Измерительные технологии наноиндустрии» I. ОБЩАЯ ЧАСТЬ Решение задачи.

В. В. Груздов Ю.В. Колковский Ю.А. Концевой КОНТРОЛЬ новых ТЕХНОЛОГИЙ В ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ СВЧ ЭЛЕКТРОНИКЕ -1000 О 1000 2000 3000 Омега-2тета (угл. сек.) ТЕХНОСФЕРА СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ...10 ГЛАВА 1 ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ

ФОТОВОЛЬТАИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУРАХ Для возникновения фотоэдс в полупроводнике при возбуждении его светом должны существовать причины, приводящие к разделению в пространстве неравновесных

II Полупроводниковые переходы и контакты 1 «Полупроводниковые диоды» Простейшим полупроводниковым прибором является диод представляющий полупроводниковый кристалл с электронно-дырочным (-) переходом. На

Лабораторная работа 19 ВНУТРЕННИЙ ФОТОЭФФЕКТ. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФОТОРЕЗИСТОРА Цель работы: экспериментально исследовать вольтамперную, световую и спектральную характеристики фотосопротивления.

Лабораторная работа 3 Определение диффузионной длины и времени жизни неравновесных носителей тока в полупроводниках Основные понятия Если в полупроводник каким-либо способом (облучение, инжекция) ввести

УДК 6.3.49.77.7.7 ТЕМПЕРАТУРНО-ЗАВИСИМАЯ МОДЕЛЬ ИОННО-ЛЕГИРОВАННЫХ РЕЗИСТОРОВ СУБМИКРОННЫХ БИПОЛЯРНЫХ БИС Докт. техн. наук проф. БЕЛОУС А. И.) докт. физ.-мат. наук проф. ЗУЙКОВ И. Е.) СЯКЕРСКИЙ В. С.

Работа 44 Изучение характеристик электронно-дырочного перехода Цель работы Исследовать вольт-амперную характеристику плоскостного перехода и ее зависимость от температуры. Вывод уравнения вольт-амперной

ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ Лектор: ст. преподаватель Баевич Г.А. Лекция 2 Электрические процессы в --переходе в отсутствие внешнего напряжения 1. Время жизни носителей заряда 2. Дрейфовое движение

3 «Вольтамперная характеристика - перехода» Если области - перехода находятся при одной и той же температуре, при отсутствии приложенного к --переходу напряжения, ток через него равен нулю, т.е. все потоки

26 июня 06.2;12 Пассивация кремния двухслойными диэлектрическими пленками из оксида иттербия и оксида диспрозия М.А. Родионов, В.А. Рожков, А.В. Пашин Самарский государственный университет Самарская архитектурно-строительная

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3.8. ФОТОПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЕНОК Введение Явление фотопроводимости заключается в возрастании электропроводности полупроводника под действием света. Это явление используется

1 «Униполярные транзисторы. Общие понятия» Работа униполярных транзисторов основана на использовании носителей заряда одного знака: либо электронов, либо дырок. В биполярных транзисторах работают оба типа

1. ВВЕДЕНИЕ Диод Шоттки это полупроводниковый прибор, свойства которого обусловлены выпрямляющим электрический ток переходом (контактом) металл/полупроводник. По сравнению с pn-переходом, сформированном

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» На правах рукописи Щемеров Иван Васильевич Разработка и создание аппаратуры для бесконтактного измерения электрофизических параметров

АГ Быков ДВ Лосев ДС Бардашов Национальный исследовательский Томский государственный университет Нелинейные свойства полупроводникового диода в импульсном режиме Рассмотрена задача определения временной

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технический университет связи и информатики Волго-Вятский филиал Кафедра математических

010812. Исследование ВАХ диода при различных температурах. Цель работы: Исследовать ВАХ диода при различных температурах. Требуемое оборудование, входящее в состав модульного учебного комплекса МУК-ТТ2:

ЧЕТЫРЕХЗОНДОВЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Описание лабораторной работы. Составители: канд. физ.-мат.наук., доц. Агарев В.Н. (физический факультет ННГУ), доктор физ.-мат.наук.,

12 февраля 06.2;12 Пассивация поверхности кремния диэлектрическими пленками из оксида эрбия М.А. Родионов, В.А. Рожков Самарский государственный университет E-mail: [email protected] Поcтупило в Редакцию

5 «Барьерная емкость p-n перехода» Двойной пространственный слой p-n перехода напоминает обкладки конденсатора с разнополярным зарядом на них (рисунок 2.7, рисунок 2.13). Увеличение обратного напряжения

ЛЕКЦИЯ Свойства p-n переходов План занятия:. Пробой p-n перехода 2. Температурные свойства p-n перехода 3. Емкость p-n перехода Пробой p-n перехода При рабочих величинах обратного напряжения протекает

«Расчет концентрации носителей заряда в кристалле» Приводимость любых твердых тел определяется, прежде всего, концентрацией электронов и дырок, способных переносить заряд. Концентрация носителей заряда

ОПРЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПО ИССЛЕДОВАНИЮ РЕЛАКСАЦИИ ФОТОПРОВОДИМОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА Цель работы: ознакомление с явлением фотопроводимости полупроводников, освоение экспериментального метода

Лекция 2. Время жизни носителей заряда. Дрейфовое и диффузионное движение носителей заряда Таким образом, в примесных полупроводниках концентрации основных носителей заряда (пп электронного полупроводника

Кафедра экспериментальной физики СПбПУ Электронно-дырочный переход Методические указания к лабораторному практикуму по общей физике СПбПУ 2014 Лабораторная работа 2.08 «Электронно-дырочный переход» 1 http://physics.spbstu.ru

Лабораторная работа 10 Определение материальных потерь в пленочных световодах Цель работы расчет коэффициента экстинкции для пленочного световода с использованием значений его оптических постоянных, измеренных

ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ Лектор: ст. преподаватель Баевич Г.А. Лекция 3 Электрические процессы в p-n-переходе при наличии внешнего напряжения 1. Прямое включение p-n-перехода 2. Обратное включение

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Л.Н. Толстого Лабораторная работа 6 Изучение температурной зависимости сопротивления полупроводников и определение энергии активации Тула 9 Цель

УДК 681.3.01: 621.383 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУР Балабаев С.И., Домрачев П.Г. Научный руководитель профессор Богатов Н.М. Кубанский государственный университет

Государственное высшее учебное заведение «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра физики ОТЧЁТ по лабораторной работе 107 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЁННОЙ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКА ПО ФОТОЭМИССИИ

1808 Связь структурных параметров с процентом выхода и качеством многомезовых кремниевых лавинопролетных диодов миллиметрового диапазона Ташилов А.С. ([email protected]), Барашев М.Н., Хапачев Ю.П. Кабардино-Балкарский

Работа 3.9 Исследование зависимости сопротивления металлов и полупроводников от температуры Оборудование: исследуемые образцы, цифровые электронные приборы Щ433 и M89G, термостат, двойной переключатель,

Выбор конструктивнотехнологических параметров мощных СВЧ MESFET-транзисторов на основе карбида кремния М.Черных Уникальные свойства карбида кремния (SiC) обеспечивают характеристики, недостижимые для кремниевых

Цель работы. Исследовать проводимости полупроводников с собственной и примесной проводимостью. Задача. 1. Определить вольт-амперную характеристику полупроводника и зависимость тока через полупроводник

Полупроводниковые диоды - технологии изготовления 1. исторически первые полупроводниковые диоды - т.н. кристаллический детектор - поликристалл PbS (природный минерал галенит, далее такие образцы PbS научились

Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра физики Физика ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКА ПО ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

21 Лекция 3 БИПОЛЯРНЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ План 1. Устройство и принцип действия биполярного транзистора 3. Вольт-амперные характеристики биполярных транзисторов 3. Мощные биполярные транзисторы 4. Выводы 1. Устройство

040002. Исследование электропроводности полупроводников. Цель работы: Определить сопротивление и его зависимость от температуры для полупроводникового материала. Установить тип материала и уровень его

1. Оценочные средства текущего контроля. Образцы вопросов теста по вариантам: Тест 1: 1й вариант Закон Ома для активного участка цепи Активное сопротивление Вольтамперная характеристика Линейные сопротивления

УДК 60.0 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ С ПОВЕРХНОСТЯМИ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ Инженеры ПАВЛЮЧЕНКО В. В., ДОРОШЕВИЧ Е. С. Белорусский национальный технический университет Электромагнитная

ГОСТ 1 8 9 8 6.7-7 3 М Е Ж Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й С Т А Н Д А Р Т ДИОДЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ МЕТОДЫ ИЗМ ЕРЕН ИЯ ЭФФЕКТИВНОГО ВРЕМ ЕНИ Ж И ЗН И НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА Издание официальное БЗ

Дополнение к лабораторной работе 2.02 «Температурные зависимости удельного сопротивления металлов и полупроводников» (автоматизированный вариант) Работа состоит из двух независимых частей: "Проводимость

SWorld 218-27 December 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/december-2012 MODERN PROBLEMS AND WAYS OF THEIR SOLUTION IN SCIENCE,

Лекция 3 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ Свободные носители заряда в металлах и полупроводниках. Проводящие свойства металлов, полупроводников и диэлектриков. Свободные носители

Лекция 6 Тема: Пассивные и активные элементы полупроводниковых интегральных микросхем (Продолжение) 1) Многоэмиттерные и-р-и-транзисторы. 2) Многоколлекторные транзисторы. 3) Транзисторы с барьером шотки.

Приборы для измерения потерь. Все приборы для измерения потерь в волокне делятся на несколько видов:! оптические тестеры;! оптические рефлектометры;! оптические измерительные ослабители лазерного излучения

48 МЕТРОЛОГИЯ Êîìïåòåíòíîñòü 3/94/202 Методика анализа погрешностей алгоритмов вычислений электрических величин в ЦИП Àâòîð ñ èòàåò, òî ïðè îïðåäåëåíèè/îöåíèâàíèè ìåòðîëîãè åñêèõ õàðàêòåðèñòèê àëãîðèòìîâ

12 апреля 06.1;06.2 Обратный ток в полупроводниковых диодах с неоднородной базовой областью Б.С. Соколовский Львовский государственный университет им. Ив. Франко Поступило в Редакцию 13 апреля 1999 г.

Материалы Международной научно-технической конференции, 21 25 ноября 2016 г. МОСКВА INTERMATIC 2 0 1 6, часть 4 МИРЭА МЕТОДИКА ОЦЕНКИ НЕЛИНЕЙНОСТИ РАЗВЕРТКИ РАСТРОВЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ МИКРОСКОПОВ 2016 г. С.С.

Козлов В.В. Студент НИУ МИЭТ, г. Москва ОСОБЕННОСТИ АДАПТАЦИИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ QUADPRO ПОД НУЖДЫ ПРОИЗВОДСТВА Аннотация В статье рассматриваются особенности адаптации новой измерительной системы под

11 ПОЛУПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ Неметаллы отличаются от проводников наличием зоны запрещенных энергий g для электронов Структуры энергетических зон собственного полупроводника приведены на рис14 Состояния,

29 Лекция 4 МОП-ТРАНЗИСТОРЫ План 1. Классификация полевых транзисторов 2. МОП-транзисторы 4. Конструкция и характеристики мощных МОП-транзисторов 4. Биполярные транзисторы с изолированным затвором 5. Выводы

Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова СО РАН Шефер Дмитрий Андреевич «Исследование процессов рекомбинации неосновных носителей заряда в легированных In и As гетероэпитаксиальных структурах

Работа 5.10 Определение ширины запрещенной зоны полупроводников по краю собственного поглощения Оборудование: призменный монохроматор УМ-2, лампа накаливания, гальванометр, сернисто-кадмиевое фотосопротивление,

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР ИНДИКАТОРЫ ЗНАКОСИНТЕЗИРУЮЩИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ ГОСТ 25024.3-83 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ Москва ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

Фотодиод Материал из Википедии свободной энциклопедии Фотодиод ФД-10-100 активная площадь-10х10 мм² ФД1604 (активная площадь ячейки 1,2х4мм2 16шт) Обозначение на схемах Фотодио д приёмник оптического излучения

ИЗУЧЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ДИОДОВ Цель работы: Изучение основных физических закономерностей, определяющих свойства и параметры фотодиодов, исследование вольтамперных

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

Расчет параметров полупроводников Методические указания

по выполнению расчетно-графической работы для студентов II курса факультета РЭФ направления 210200 «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и специальностей: 210404 «Многоканальные телекоммуникационные системы», 210402 «Средства связи с подвижными объектами», 210405 «Радиосвязь, радиовещание и телевидение»

Составитель: канд. техн. наук, доц. С.В. Дорогой Рецензент: доц. Н.И. Коржавин,

В работе даны варианты расчетно-графических заданий по дисциплинам

«Физические основы микроэлектроники» и «Физические основы электроники».

Рассмотрены примеры получения аппроксимационных зависимостей основных физических параметров полупроводников, таких как подвижности электронов и дырок при произвольных значениях температуры и концентрации примеси на основании экспериментальных результатов и известного вида зависимостей.

Результаты расчетов, выполненных в среде MathCAD, сравниваются с литературными данными.

Методические указания основаны на наиболее достоверных фактических данных, имеющихся в научной литературе и Интернет источниках.

Работа подготовлена на кафедре КТРС

© Новосибирский государственный технический университет, 2003

Введение

Знание основных физических параметров полупроводников и их зависимостей от различных факторов, например, температуры, необходимо для расчета конкретных характеристик полупроводниковых приборов. Из огромного числа полупроводниковых материалов выбраны 8 полупроводников, имеющих максимальное распространение, соответствующих вариантам РГЗ, а именно:

кремний (Si), германий (Ge), арсенид галлия (GaAs), фосфид галлия (GaP),

антимонид галлия (GaSb), антимонид индия (InSb), арсенид индия (InAs), фосфид индия (InP). Расчет параметров производится для примесных невырожденных полупроводников как для n-, так и для p типов проводимости. Соответствующие концентрации доноров и акцепторов приведены в задании. При решении практических задач часто бывает необходимо получить математическое выражение для произвольно изменяющейся функции по экспериментальным точкам. В общем виде сделать это непросто. Задача существенно упрощается,

если известен вид аппроксимирующей функции. В работе предлагается сделать обработку экспериментальных зависимостей (µn (T), µp (T), µn (Nd ), µp (Na ),)) по известному виду функций и получить соответствующие аппроксимационные зависимости как функции одной переменной. Эти зависимости могут быть использованы как для расчета других параметров полупроводников, например,

электропроводности, так и характеристик элементов полупроводниковых приборов, например, p-n перехода. Также получаемые зависимости допускают проведение над ними обычных математических операций, например,

интегрирование или дифференцирование. Работа выполняется с использованием программы MathCAD-2000 или других.

1. Основные физические параметры полупроводников

К основным физическим параметрам полупроводников, подлежащих определению, относятся:

1. m * dn , m * dp - эффективные массы плотности состояний электронов в зоне

проводимости и дырок в валентной зоне.

2. N C (T) эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

3. N V (T) эффективная плотность состояний в валентной зоне.

4. n i (T) собственная концентрация носителей заряда.

5. E g (T) ширина запрещенной зоны полупроводника.

6. n (T, Nd=const), n (T=300 K, Nd ), p (T, Na=const), p (T=300 K, Na )

подвижности электронов и дырок. Концентрации примесей Nd, Naуказаны в варианте. Если не удается найти экспериментальные зависимости при заданных значениях концентрации примеси или температуры, то использовать наиболее близкие данные.

7. i (T) – удельное электрическое сопротивление собственного полупроводника.

8. C -EF . или EF -EV ) в заданном диапазоне температур.

Использовать допущение полной ионизации примесей, полупроводник

невырожденный.

9. Положение уровня Ферми в примесном полупроводнике относительно разрешенных зон (E C -EF ., EF -EV ) при фиксированной температуре (Т=300К) для заданных значений Nd и Na.

10. Изменение положения уровня Ферми в собственном полупроводнике при увеличении температуры относительно середины запрещенной зоны (E i ).

11. Температуру начала собственной проводимости (n i (T)>Nd или pi (T)>Na )).

12. Отношение подвижности электронов к подвижности дырок при

фиксированном значении температуры (Т=300 К) в зависимости от концентрации примеси. Задать концентрации Nd и Na в широком диапазоне, например 1014 см-3

…1019 см-3 .

13. Зависимость удельного электрического сопротивления примесного

соответственно) при постоянной температуре (Т0 =300К). Задать концентрации Nd

и Na как в п.12.

14. Dn (T), Dp (T) коэффициенты диффузии электронов и дырок в зависимости от

температуры

2. Основные формулы и соотношения

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции g(x) (аппроксимирующей функции ) , которая была бы близка заданной. Критерии близости функций f(x) и g(x) могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе экспериментальных точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

Экспериментальные данные берутся из литературных источников, например из или из текущей научной периодики.

3. Порядок выполнения работы

1. Скопировать в единый раздел необходимые для расчета физические константы, такие как постоянные Больцмана, Планка, заряд электрона и т.д. из Ресурсного Центра программы MathCAD (Resourse Center→QuickSheets and Reference Tables→Basic Science Reference→Fundamental Physical Constants).

Обратить внимание на наличие размерностей.

2. Выписать значения констант, относящихся к конкретному полупроводнику из таблицы 1, с учетом размерностей, например, ширину запрещенной зоны при Т=0К (Eg0 ). Задать диапазон изменения величин, например, температуры и концентрации доноров (Nd ) и акцепторов (Na ).

Пример 1 Задание диапазонов изменяемых величин с различным шагом.

Температура (T) имеет шаг 1 К, а концентрация доноров (Nd ) – 4 1014 см-3 .

T 0 300 K T 200 K 201 K 400 K

N.d 1 1014 cm 3 5 1014 cm 3 1 1018 cm 3

Напоминаем, что «нижний индекс» переменной Nd , в MathCAD ставится

через точку, а не с помощью кнопки панели Матрицы, это элемент матрицы.

Записать выражение для температурной зависимости ширины запрещенной зоны, согласно уравнению (3). Сделать правую часть выражения сначала безразмерной, поделив T на Кельвин, и присвоить затем размерность электрон-

вольт. Так как в MathCAD нет встроенной единицы измерения «электрон-вольт» ,

то необходимо самим ее определить и присвоить. Результат для Si выглядит так:

Пример 2 Температурная зависимость ширины запрещенной зоны кремния Eg (T),

размерность – электрон-вольт.

3. Определить эффективную массу плотности состояний электронов в зоне проводимости и эффективную массу плотности состояний дырок в валентной зоне. Это можно сделать с помощью формул (1) и (2), если подставить численные значения для Nc или Nv при Т=300 К из таблицы 1 и решить уравнения относительно m * dn и m * dp .

Напоминаем, что эти величины используются исключительно для расчета

NC (T), NV (T). Результат представить в виде: m * dn Const m 0 , где m0 -масса электрона и поместить перед формулами для NC (T), NV (T).

4. Определить собственную концентрацию носителей заряда, построить график ni (T) и вычислить температуру начала собственной проводимости.

(начальные условия)

(блок решения системы уравнений (Given-Find))

(численные значения неизвестных величин)

(искомое аппраксимационное уравнение)

Результат аппроксимации в сравнении с экспериментом показан на рис.1